梯度散度旋度常用基本关系

∇：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算子。

 

Strictly speaking, ∇del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field.

Δ、∇2 or ∇·∇：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。

,       

 

grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

▽f=

div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。对于水流来说散度相当于看水在何处有源头何处有汇聚，在电磁场中则看是否某处有发射场线或收回场线，目前认为不存在磁单极子，即磁场没有源头或汇聚，所以为无源场。

 

rot F 或curl F=∇ × F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。对于水流来说旋度相当于看水中是否存在漩涡，在电磁场中则是看电场线或磁感线是否闭合，磁感线是闭合的就是说它是有旋场

 

基本关系：

一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：

一个矢量场F的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零：

F的旋度场的旋度场是：                    

亥姆霍兹分解、亥姆霍兹定理或矢量分析基本定理：对于任意足够平滑、快速衰减的三维矢量场可解为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。简单的说就是任何矢量都可以分解为简单的无旋场和无源场之和，即其标量位和矢量位两部分。

      

Helmholtz's theorem, also known as the fundamental theorem of vector calculus, states that any sufficiently smooth, rapidly decaying vector field in three dimensions can be resolved into the sum of an irrotational (curl-free) vector field and a solenoidal (divergence-free) vector field; this is known as the Helmholtz decomposition.