【动态规划算法】从斐波那契数列谈起

读了这篇文章，让动态规划不再神秘

斐波那契数列

有这样一个有趣的故事：

假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去……那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）

斐波那契数列的递归解法

根据上述斐波那契数列的递归定义方法，我们很容易想到用递归的方式来求解斐波那契数列：

int Fibonacci1(int n){
	if (n<3){
		return 1;
	}
	return Fibonacci1(n-1) + Fibonacci1(n-2);
}

我们来分析一下上述过程：
递归求解的过程如同构造一棵二叉树，例如求解 F(5)依赖F(4)和F(3)，我们把F(5)作为树的根节点，F(4)和F(3)作为左右两个叶子节点，继续向下递归，左节点F(4)继续向下分解为F(3)和F(2)，右节点F(3)继续向下分解为F(2)和F(1)，依此类推，如下图所示：

可以很直观的看到，该算法的时间复杂度为O(2^N)。N越大，计算的复杂度就越大；并且，每个结果都会被重复计算，如果我们在计算时可以将这些中间结果存储起来，使用的时候直接读取，就不用在计算每个节点的时候都递归到最下层求F(1)和F(2)的值，会节省很多时间。

动态规划

动态规划的基本思想：将过程分为若干个互相联系的阶段，即子问题，将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段，先求解子问题，然后从这些子问题的解的方法得到原问题的解；对于重复出现 的子问题，只在第一次遇到的时候对他们进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案。

动态规划的特点

• 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
• 无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。
• 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

动态规划求解斐波那契数列

我们申请一个长为n的数组，用来记录F(n)的值，这样在需要求F(n-1)和F(n-2)的值时，就可以直接读取前面得到的结果了：

int Fibonacci2(int n){
   int *dp = new int [n+1]; // 定义dp数组
   dp[1] = 1; // 初始化
   dp[2] = 1; // 初始化
   for (int i = 3; i <= n; ++i)
   	dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; //迭代求解
   return dp[n];
}

时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(N)
以上就是动态规划思路的体现，不用每一次都要从头开始求到当前步骤，而是可以基于前面步骤得到的结果，直接利用上面的结果得到当前想要的答案。
动态规划的关键就是明确dp数组or矩阵中每个元素代表的含义，然后给出初始化条件以及迭代公式，剩下的就是利用公式迭代求解了。

另外，一般的动态规划都有优化存储空间的可能，如果迭代公式里体现出当前的解仅与前面的有限个解有关的话，可以通过覆盖前面的值来实现仅存放于当前结果有关的值，达到节省空间的目的。当然这样的做法适用于仅要求给出最终解的答案，对于需要输出过程的题目并不适用（因为中间的过程在优化空间的时候已经被覆盖了）。

在这道题中， 我们分别使用两个变量来记录前面得到的结果：

int Fibonacci3(int n){
	int n1 = 1;
	int n2 = 1;
	int sum = 0;
	if (n < 3)
		return 1;
	else
	{
		for (int i = 0; i < n - 2; ++i)
		{
			sum = n1 + n2;
			n1 = n2;
			n2 = sum;
		}
		return tmp;
	}
}

时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(1)