多目标进化算法MOEA中一些性能评价方法

诸多MOEA的性能评价方法，可以归为三大类：
1、收敛性：评价解集与真正的Pareto最优面的趋近程度。
2、分布性：评价解集的多样性和均匀分布程度。
3、综合性能：综合考虑解集的收敛性和分布性。
我们需要针对待解决问题的特征，选取合适的评价方法。下面介绍几种常见的性能评价指标。

1、set coverage,CS 覆盖率指标

这时Zitzler等人在2000年提出的一种评价方法，来对MOEA中的两个解集的相对覆盖率进行比较，在MOEA/D的论文中也用到了该性能指标，那么这个覆盖率是什么呢，下面进行说明：
对于两个近似解集A和B，C(A,B)是B被A中至少一个解支配的解占B中解个数的百分比。C(A,B)=100表示B中所有的解都被A中至少一个解支配。C(A,B)=0表示B中没有解被A中的解支配。C(A,B)不一定等于1-C(B,A)。这样就很清晰了，下面给出公式：

2、GD （Generational Distance)世代距离

该方法是 Van Veldhuizen 和 Lamont 两人于1998 年提出的，该指标表示求出已知的最优边界PFknown和问题真正的最优边界PFtrue之间的间隔距离，该距离表示偏离真正边界的程度，值越大，偏离真正最优边界越远，收敛性越差。公式为：

其中指数p的值取2的时候，为欧几里得距离。

3、IGD（Inverted Generational Distance）逆世代距离

逆世代距离IGD是世代距离GD的逆向映射，它计算问题真正的Pareto最优解集PFtrue中的个体到算法求得的非支配解集PFknown的平均距离。具有较小IGD值的解集更好。它除了能反应解集的收敛性外，还可以很好得反应分布均匀性和广泛性。IGD值越小，多样性和收敛性越好。公式如下：

4、spacing metric 空间评价方法

4.1

该指标是由Deb等于2002年提出的，用来度量非支配解的分布程度：

其中：N是目前发现的非支配解的数目。参数di是非支配解集中两个邻居个体之间的欧氏距离，参数df和dl是非支配解集中极值解和边界解之间的欧式距离，该指标的值为0表示Pareto最优解的所有成员是等间距分布的。其值越小表示非支配解的分布性和多样性越好。缺点是只对2目标问题比较有效，当目标数目大于2的时候效果不好。

4.2

Zhou和Durillo等于2006提出了对其进行改进的指标，该指标通过计算一个给定点到它最近邻居的距离来拓展其去适应超过2个目标的问题。改进后的指标如下：

其中：（E1,E2,…,Em）是真实Pareto前沿PFtrue上的极值解，Ω是由算法获得的一个非支配解集，m是目标数目。极值解Ei是在第i个目标上有最佳值得点

5、epsilon indicator

epsilon指标给出了在考虑所有目标上近似解集A比另一个近似解集B更差的因子ε，也就是 Iε(A,B）：通过该因子的变换，在所有目标上，对于B中任何一个解，A中至少存在一个解不比它们更差。epsilon indicator 有两个版本：multiplicative 和 additive版本，我们给出additive版本的公式，不仅可以度量近似程度，也可以很好地度量多样性。

6、Hypervolume(HV)超体积指标

根据Zitzler等人的说法（2003），Hypervolume指标是唯一已知的一元指标，它可以由其超体积的单个值来评估一个解集的质量， 且是唯一已知的符合帕累托支配概念的指标。 超体积是评估近似解集的收敛性和多样性的综合指标（Zitzler和Thiele 1999）。 因此，给定在n个目标中包含m个点的集合S，解集S的超体积是由S中的至少一个点支配的目标空间的一部分的大小。相对于参考点计算S的超体积，该参考点在每个目标中的比S中的每个点更差（或等于）。 如图8所示，超体积值越大，就认为该解集越好。 超体积的一个主要优点（Zitzler和Thiele 1999; Zitzler等人，2003）是它能够以单个数字得到解与最优集合的接近程度，并在某种程度上得到目标空间上解的分布。缺点是计算消耗过大，且参考点选取对准确定有一定的影响。