逻辑回归评分卡分数映射

本文转自https://github.com/xsj0609/data_science/tree/master/ScoreCard

一、评分卡逻辑

 　信贷业务评估的是客户的客户违约率（Percent of Default）即PD，是[0,1]的概率，比如2%即100个客户中有2个违约，简称为p。

 　评分卡中不直接用客户违约率p，而是用违约概率与正常概率的比值，称为Odds，即
$$Odds=\frac{p}{1-p}$$
$$p=\frac{Odds}{1+Odds}$$
 　评分卡的背后逻辑是Odds的变动与评分变动的映射（把Odds映射为评分），分值是根据Odds的前提条件算出来的，不是人工取的。以单个客户在整张评分卡的得分的变动（比如评分从50分上升到70分）来反映Odds的变动（比如Odds从5%下降至1.25%），以及背后相对应的客户违约率PD的变动（比如从4.8%下降到1.2%）。违约率PD不直观、业务看起来不方便、不便计算，而评分就很直观、便于计算。如图所示。

二、评分映射公式

 　Odds映射为评分的公式为：
$$Score=A-Blog(\frac{p}{1-p})$$
<1> 预设条件
 　要算出系数A、B的话，需要从业务角度先预设两个前提条件：

1. 在某个特定的比率${\theta }_0$设定特定的预期分值$P_0$
2. 指定比率翻番时分数的变动值（PDO）

解释：

1. 比如根据业务经验，消费金融信贷的客户违约率4.8%算正常（${\theta }_0$=Odds=5）。预设评分卡的分值为0-100分，那取预期分值$P_0$为50分，并指定当Odds按双倍上下浮动时（比如2.5%或10%），分值则对应上下变动10分（比如60分或40分）。
2. 这里=5%是根据业务经验来的，没有数学依据；
3. 0-100分是根据做评分卡的需要来的，没有数学依据。要是想做成600-1000分的评分卡也可以，修改对应的$P_0$和PDO就行；
4. $P_0$=50分是根据0-100分来的，也可以取45分或73分，不重要。重要的是随着Odds翻番变动时，分数也随之变动的联动变化体系（你翻番我就变PDO=10分）

<2> 求解A、B
 　设定好${\theta }_0$、$P_0$、PDO后，联动变化为：Odds(${\theta }_0$)对应的分值为$P_0$，且翻番的Odds($2{\theta }_0$)对应的分值为$P_0$+PDO。则有以下两式：
$$P_0=A-Blog({\theta }_0)$$
$$P_0+PDO=A-Blog(2{\theta }_0)$$
解出A、B为：
$$B=\frac{PDO}{log(2)}$$
$$A=P_0+Blog({\theta }_0)$$

按上面的解释举个例子：
设θ_0、P_0、PDO为5%、50分、10分，则
$$B=\frac{10}{ln(2)}=14.43$$
$$A=50+14.43\ast ln(0.05)=6.78$$
则
$$Score=6.78-14.43\ast log(\frac{p}{1-p})$$
<3> 完整的对应关系表
 　按照公式，可以把所有Odds（$\frac{p}{1-p}$）和客户评分、客户违约概率（PD）的对应关系算出来

 　该关系对应表应该算信用评分卡的核心思想了，评分是外层表现，客户违约率是内层核心，Odds是中间层转换计算

三、Odds映射X变量

$$log(\frac{p}{1-p})={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...++{\beta }_n{x}_n$$

即
$$p=\frac{1}{1+e^{-}{\beta }^{T}x}$$
 　这样就可以根据变量x和系数的的值计算出违约概率p了。

四、X变量细分到分组

 　我们要做的是分组评分卡，X是要对应到每个分组，得到各变量分组的评分然后相加得到客户总评分的，那就还需要将X打散到各分类（用离散型数据入逻辑回归模型）。因此这里的输入X就不能是原始变量，而是原始变量分箱并算WOE后的woe值（类似离散变量中各类别的数值化），即：
$$Score=A-B[{\beta }_0+{\beta }_1({\delta }_{11}{w}_{11}+{\delta }_{12}{w}_{12}+{\delta }_{13}{w}_{13})+{\beta }_2({\delta }_{21}{w}_{21}+{\delta }_{22}{w}_{22}+{\delta }_{23}{w}_{23}+{\delta }_{24}{w}_{24})+...+{\beta }_n({\delta }_{n1}{w}_{n1}+{\delta }_{n2}{w}_{n2}]$$
 　假设类别型变量$x_1$、$x_2$、$x_3$分别有3、4、2个分类（数值型变量先分箱成类别型变量） ${\delta }_{ij}$代表第i个变量的第j个分类，客户数据参与评分时，某个变量x只会有1个数，只会对应一个分类。比如，变量$x_1$的取值是第2个分类的话，那${\delta }_{12}$为1，则第二个分类的woe$w_{1}2$值生效，$x_1$的其他两个$\delta$则为0，对应的其他两个分类的woe值无效不参与计算。

五、生成评分卡

 　将上面的公式变下形式，变成最终可以组成评分卡的样式

 　A、B已经算出，$\beta$是逻辑回归模型的输出系数，${\beta }_0$是逻辑回归模型的输出截距项，w是分箱后的woe值。至此评分卡就可以生成了。

【作者】：Labryant
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