空间域和变换域(以傅里叶变换为例)

空间域(spatial domain)

以图像左上为原点，横为y竖为x的二维平面。

变换域

在有些情况下，通过变换输入图像来表达处理任务，在变换域执行处理任务，然后再反变换到空间域会更好。
二维线性变换的通用形式可表示为：

T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)r(x,y,u,v)

其中， f(x,y) 是输入图像， r(x,y,u,v) 称为 正变换核， T(u,v) 称为 f(x,y) 的 正变换。

给定 T(u,v) 后，可以用 T(u,v) 的反变换还原 f(x,y) :

f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)s(x,y,u,v)

s(x,y,u,v) 称为 反变换核。两个式子一起称为 变换对。

如果

r(x,y,u,v)=r1(x,u)r2(y,v)

那么正向变换核是 可分的。如果 r1(x,u)=r2(y,v) ，则称变换核是 对称的。从而有

r(x,y,u,v)=r1(x,u)r1(y,v)

如果 s 同样试用，则同样适用于反变换核。

傅里叶变换

傅里叶变换在图像处理中是一种很常用的变换方法，可以使图像从空间域转换到频率域从而进行一些图像处理操作。

二维离散傅里叶变换的变换核为

r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN)

s(x,y,u,v)=1MNej2π(uxM+vyN)

带入通用变换式中，可得离散傅里叶变换对

T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN)

f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)ej2π(uxM+vyN)

傅里叶核是对称且可分的(证明见附)，并且 可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换(证明见附)。

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附

证明:傅里叶核的对称性和可分性

根据同底幂的乘法运算 am∗an=am+n ，可得

r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN)=e−j2πuxMe−j2πvyN=r1(x,u)r2(y,v)

可分性证毕。
由上式可得

r1(x,u)r2(y,v)=e−j2πuxMe−j2πvyN=r1(x,u)r1(y,v)

对称性证毕。

证明:可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换

T(u,v)T(x,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN)=∑x=0M−1e−j2πxuM∑y=0N−1f(x,y)e−j2πyvN=∑x=0M−1T(x,v)e−j2πxuM=∑y=0N−1f(x,y)e−j2πyvN

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注

• 一维连续傅里叶公式：
  
  X(f)=∫+∞−∞x(t)e−j2πftdt
• 一维离散傅里叶公式：
  
  X(m)=∑n=0N−1x(n)e−j2πnmN,m=0,1,2,...,M−1
  
  根据欧拉公式
  
  e−j∅=cos(∅)−jsin(∅)
  
  一维离散傅里叶公式等价于
  
  X(m)=∑n=0N−1x(n)[cos(2πnmN)−jsin(2πnmN)]