2015 ec-final Problem F. Hungry Game of Ants 动规计数

题意

有n只蚂蚁分别在1到n的位置（左右还有位置0和位置n + 1），他们的重量分别是1到n，其实n只蚂蚁分别随机选取左右中的一个方向同时开始行走（走到头就转向），两只蚂蚁相遇就打架，较重的获胜，较轻的被吃掉，并且重量变成两者之和，问最后第k只蚂蚁活下来的方案数（总共2 ^ n种情况）

样例

3
2 1 　　　　　Case #1: 0
3 2 　　　　　Case #2: 4
4 2 　　　　　Case #3: 4
样例2中的方案：左左左，左左右，右左左，右左右
2 ≤ N ≤ 10 ^ 6
1 ≤ K ≤ N

思路

（1）第k只蚂蚁必然是先向左（k != n的情况下），吃掉左边所有的蚂蚁，然后向右。我们先计算出吃掉k左边所有蚂蚁的方案数，可以分为两步，首先是直接吃掉一段靠近k的且向右走的蚂蚁，然后靠左的一段形成一致大蚂蚁，然后被靠右的吃掉。比如k = 6，5向右走，6吃掉5；4向左走，将1， 2， 3， 4形成一只重量是10的大蚂蚁，然后被6和5形成的11大蚂蚁吃掉。我们可以枚举靠右的那一段。

（2）在1到k都被吃掉后，可以动规解决后面的情况。dp[i]表示前i只蚂蚁已经合并的方案数，可以枚举这只大蚂蚁最后吃掉的那一段，那么：
dp[i] = sigma{dp[j] | j < i && 1到j形成的大蚂蚁可以吃掉j + 1到i形成的大蚂蚁}

代码

#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); i++)
#define FOR(i, n, m) for (int i = (n); i <= (m); i++)

const int N = 1000000, MOD = 1000000007;

int T, n, m;
LL pre[N + 5], c[N + 5];
LL dp[N + 5], sd[N + 5];

void init() {
    pre[0] = 0, c[0] = 1;
    FOR (i, 1, N) {
        pre[i] = pre[i - 1] + i;
        c[i] = c[i - 1] * 2 % MOD;
    }
}

int solve() {
    if (n == 1) return 2;
    if (m == 1) return 0;
    LL sum = 0, tmp = 1, p = m, now = pre[p];
    FORD (i, m, 2) {
        sum += i;
        if (sum <= pre[m] - sum) continue;
        tmp = (tmp + c[i - 2]) % MOD;
    }
    if (m == n) return tmp * 2 % MOD;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(sd, 0, sizeof(sd));
    dp[m] = tmp, sd[m] = tmp;
    FOR (i, m + 1, n) {
        while (now < pre[i] - now) now += (++p);
        dp[i] = (sd[i - 1] - sd[p - 1]) * (i == n ? 2 : 1);
        dp[i] = (dp[i] + 2 * MOD) % MOD;
        sd[i] = (sd[i - 1] + dp[i]) % MOD;
        //sc3(i, p, dp[i]);
    }
    return (int) dp[n];
}

int main() {
    file_r("in.txt");
    file_w("out.txt");
    int cas = 0;
    scanf("%d", &T);
    //T = 55;
    init();
    //file_w("out.txt");

    while (T--) {
        scanf("%d %d", &n, &m);
        //FOR (i, 1, 10) FOR (j, 1, i) {
        //    n = i, m = j;
            printf("Case #%d: %d\n", ++cas, solve());
        //}
    }
    return 0;
}