leetcode-剪绳子

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段，记每段绳子长度为k[0],k[1]...k[m-1],求k[0]k[1]...k[m-1]的最大值。已知绳子长度n为整数，m>1(至少要剪一刀，不能不剪)，k[0],k[1]...k[m-1]均要求为整数。
例如，绳子长度为8时，把它剪成3-3-2，得到最大乘积18；绳子长度为3时，把它剪成2-1，得到最大乘积2

我们假定绳子长度为n，由于题目要求至少剪一刀，我们假设剪一刀后，将绳子切为i 和n-i两段，则f(n) = max(f(i) * f(n-i))。
举个例子来帮助我们整理思路：假设现在n=20，我们将其剪为5 和15，而求f(15) 时，我们将其剪为5 和10，我们发现子问题在求解上有重合。所以我们先求解子问题，保存子问题结果，自底向上求解最优解。
tips:当我们将绳子切为i 和 n -i 两段后，f(i) ，f(n-i）与f(n)在求解时有些许不同：对于题目要求至少剪一刀，所以对n来说，不能不剪；而对于f(i),f(n-i), 若其不剪结果比剪后结果大，则保持其完整状态。
那这个剪与不剪的边界是多少？下面我们简单来证明一下：
假设n是偶数，我们只切一刀，则f(n) = (n/2) * (n/2), 令f(n) >= n;求得n>=4;
假设n是奇数，我们切一刀后，fn = (n +1)/2 * (n-1)/2, 令f(n) >= n;求得n>4;
所以切与不切的边界为n=4
即对 i<4 (或n-i <4)时，f(i) = i， 即不切比切结果更大。而当n < 4时，至少f(n) 为切一刀后的最大结果。

def cut_rope(n):
    if n < 2:
        return 0
    
    if n == 2:
        return 1  # 1*1
    
    if n == 3:
        return 2 # 1 * 2
    
    # 将其切为i， n-i两部分
    area_max = {}
    area_max[0] = 0
    area_max[1] = 1
    area_max[2] = 2
    area_max[3] = 3  # 不切时最大
    
    # 从n=4开始，不切的最大值小于等于切后的最大值
    m = 4
    while m <= n:
        t = 0
        for i in range(1, m//2 + 1):
            t = max(t, area_max[i] * area_max[m-i])
        
        area_max[m] = t
        m += 1
        
    return area_max[n]
   # cut_rope(10) 
      36