[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-L'Hospital 法则的应用)

设 $f\in C[0,+\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\bex \vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}. \eex$$ 证明; $f(+\infty)=0$.

 

证明: 记 $$\bex F(x)=e^{ax}\int_0^x f(t)\rd t, \eex$$ 则 $$\bex F'(x)=e^{ax}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}, \eex$$ $$\bex \vlm{x}\cfrac{F'(x)}{ae^{ax}}=\cfrac{1}{a}\vlm{x} \sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t} \eex$$ 存在. 由 L'Hospital 法则, $$\bex \vlm{x}\int_0^x f(t)\rd t =\vlm{x}\cfrac{F(x)}{e^{ax}} =\vlm{x}\cfrac{F'(x)}{ae^{ax}} \eex$$ 存在. 故 $$\bex \vlm{x}f(x)=\vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t} -a\vlm{x}\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 存在. 由 $$\bex \vlm{x}\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 存在即知 $f(+\infty)=0$ (否则, $f(+\infty)=A\neq 0$. 不妨设 $A>0$, 而 $$\bex \exists\ X>0,\st x\geq X\ra f(x)\geq \cfrac{A}{2}, \eex$$ $$\beex \bea \int_0^x f(t)\rd t &=\int_0^Xf(t)\rd t+\int_X^x f(t)\rd t\quad(x\geq X)\\ &\geq \int_0^Xf(t)\rd t+\cfrac{A}{2} (x-X)\\ &\to \infty\quad (x\to\infty). \eea \eeex$$ 这是一个矛盾).