数据结构与算法之B树(十)

一 序言

B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统，数据库的实现。也称(B-tree或B-树)

二 B树的特点

1. 一个节点可以存储超过2个元素，可以拥有超过2个子节点
2. 拥有二叉搜索树的一些性质
3. 平衡，每个节点的所有子树高度一致
4. 比较矮

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三 m阶B树的性质（m >= 2）

1. 假设一个节点存储的元素个数为 x

• 根节点:1 ≤ x ≤ m − 1
• 非根节点:┌ m/2 ┐ − 1 ≤ x ≤ m − 1(向上取整)
• 如果有子节点，子节点个数 y = x + 1
  • 根节点:2 ≤ y ≤ m
• 非根节点:┌ m/2 ┐ ≤ y ≤ m

比如 m = 3，2 ≤ y ≤ 3，因此可以称为(2, 3)树、2-3树 
比如 m = 4，2 ≤ y ≤ 4，因此可以称为(2, 4)树、2-3-4树 
比如 m = 5，3 ≤ y ≤ 5，因此可以称为(3, 5)树
比如 m = 6，3 ≤ y ≤ 6，因此可以称为(3, 6)树
比如 m = 7，4 ≤ y ≤ 7，因此可以称为(4, 7)树

思考:如果 m = 2，那B树是什么样子? ◼
你猜数据库实现中一般用几阶B树? 200 ~ 300

四 B树 VS 二叉搜索树

B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的

• 多代节点合并，可以获得一个超级节点

  • 2代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点(至少是 4阶B树)
  • 3代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点(至少是 8阶B树)
  • n代合并的超级节点，最多拥有 2n个子节点( 至少是 2n阶B树)

• m阶B树，最多需要 log2m 代合并

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4.1 搜索

跟二叉搜索树的搜索类似

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1. 先在节点内部从小到大开始搜索元素
2. 如果命中，搜索结束
3. 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤1

4.2 添加

新添加的元素必定是添加到叶子节点

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4.2.1 插入55

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4.2.2 插入95

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4.2.3 再插入98？（假设是一棵4阶B树）

最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
这种现象可以称之为 上溢（overflow）

4.2.4 添加 - 上溢的解决（假设5阶）

1. 上溢节点的元素个数必然等于m

2. 假设上溢节点最中间元素的位置为k

• 将k位置的元素向上与父节点合并
• 将 [0, k-1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
  • 这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制(┌ m/2 ┐ − 1)

3. 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决 * 最极端的情况，有可能一直分裂到根节点

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4.2.5 添加

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1. 插入98

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2. 插入52

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3. 插入54

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4.3 删除

4.3.1 删除 - 叶子节点

假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可

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◼删除 30

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4.3.2 删除 – 非叶子节点

• 假如需要删除的元素在非叶子节点中

1. 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
2. 再把前驱或后继元素删除

删除 60

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• 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
  • 所以这里的删除前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况:删除的元素在叶子节点中
  • 真正的删除元素都是发生在叶子节点中

4.3.3 删除 - 下溢

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删除22（假设这是一棵5阶B树）
叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（>= ┌ m/2 ┐- 1）

这种现象称为：下溢（underflow）

4.3.4 删除 - 下溢的解决

下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2

如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素

• 将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置(最小位置)
• 用兄弟节点的元素 a(最大的元素)替代父节点的元素 b
• 这种操作其实就是:旋转

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4.3.5 删除 - 下溢的解决

如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素

• 将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
• 合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1
• 这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播

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4.3.6 4阶B树

如果先学习4阶B树(2-3-4树)，将能更好地学习理解红黑树

◼ 4阶B树的性质

• 所有节点能存储的元素个数 x :1 ≤ x ≤ 3
• 所有非叶子节点的子节点个数 y :2 ≤ y ≤ 4

◼添加

• 从 1 添加到 22

◼删除

• 从 1 删除到 22

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本文参考 MJ老师的 恋上数据结构与算法

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