学习笔记DL004:标量、向量、矩阵、张量，矩阵、向量相乘，单位矩阵、逆矩阵

线性代数，面向连续数学，非离散数学。《The Matrix Cookbook》，Petersen and Pedersen，2006。Shilov(1977)。

标量、向量、矩阵、张量。

标量(scalar)。一个标量，一个单独的数。其他大部分对象是多个数的数组。斜体表示标量。小写变量名称。明确标量数类型。实数标量，令s∊ℝ表示一条线斜率。自然数标量，令n∊ℕ表示元素数目。

向量(vector)。一个向量，一列数。有序排列。次序索引，确定每个单独的数。粗体小写变量名称。向量元素带脚标斜体表示。注明存储在向量中元素类型。如果每个元素都属于R，向量有n个元素，向量属于实数集R的n次笛卡儿乘积构成集合，记ℝⁿ。明确表示向量元素，元素排列成一个方括号包围纵列。向量看作空间中点。每个元素是不同坐标轴上的坐标。索引向量元素，定义包含元素索引集合，集合写在脚标处。用符号-表示集合补集索引。

矩阵(matrix)。一个二维数组。每个元素由两个索引确定。粗体大写变量名称。如果实数矩阵高度为m，宽度为n，A∊ℝ⁽m*n⁾。表示矩阵元素，不加粗斜体形式名称，索引逗号间隔。A1,1表示A左上元素，Am,n表示A右下元素。“:”表示水平坐标，表示垂直坐标i中所有元素。Ai,:表示A中垂直坐标i上一横排元素，A的第i行(row)。右下元素。A:,i表示A的第i列(column)。明确表示矩阵元素，方括号括起数组。矩阵值表达式索引，表达式后接下标，f(A)i,j表示函数f作用在A上输出矩阵第i行第j列元素。

张量(tensor)。超过两维的数组。一个数组中元素分布在若干维坐标规则网络中。A表示张量“A”。张量A中坐标(i,j,k)元素记Ai,j,k。

转置(transpose)。矩阵转置，以对角线为轴镜像。左上角到右下角对角线为主对角线(main diagonal)。A的转置表为A⫟。(A⫟)i,j=Aj,i。向量可作一列矩阵。向量转置，一行矩阵。向量元素作行矩阵写在文本行，用转置操作变标准列向量来定义一个向量，x=[x1,x2,x3]⫟。标量可看作一元矩阵。标量转置等于本身，a=a⫟。
矩阵形状一样，可相加。对应位置元素相加。C=A+B，Ci,j=Ai,j+Bi,j。标量和矩阵相乘或相加，与矩阵每个元素相乘或相加，D=aB+C，Di,j=aBi,j+c。

深度学习，矩阵和向量相加，产生另一矩阵，C=A+b，Ci,j=Ai,j+bj。向量b和矩阵A每一行相加。无须在加法操作前定义一个将向量b复制到第一行而生成的矩阵。隐式复制向量b到很多位置方式，称广播(broadcasting)。

矩阵、向量相乘。

两个矩阵A、B矩阵乘积(matrix product)是第三个矩阵C。矩阵A列数必须和矩阵B行数相等。如果矩阵A的形状mn，矩阵B的形状是np，矩阵C的形状是mp。两个或多个矩阵并列放置书写矩阵乘法。C=AB。Ci,j=Sumk(Ai,kBk,j)。列乘行。两个矩阵对应元素乘积，元素对应乘积(element-wise product)，Hadamard 乘积(Hadamard product)，记A⊙B。两个相同维数向量x、y点积(dot product)，矩阵乘积x⫟y。矩阵乘积C=AB计算Ci,j步骤看作A第i行和B的第j列间点积。矩阵乘积服务分配律(A(B+C)=AB+AC)、结合律(A(BC)=(AB)C)。不满足交换律(AB=BA)。两个向量点积满足交换律x⫟y=y⫟x。矩阵乘积转置 (AB)⫟=B⫟A⫟。两个向量点积结果是标量，标量转置是自身，x⫟y=(x⫟y)⫟=y⫟x。Ax=b，A∊ℝ⁽mn⁾是已知矩阵，b∊ℝ⁽m⁾是已知向量，x∊ℝⁿ是求解未知向量。向量x每个元素xi都未知。矩阵A第一行和b中对应元素构成一个约束。

单位矩阵、逆矩阵。

矩阵逆(matrix inversion)。单位矩阵(identity matrix)，任意向量和单位矩阵相乘，都不会改变，保持n维向量不变的单位矩阵记In。In∊ℝ⁽n*n⁾。∀x∊ℝⁿ,Inx=x。单位矩阵结构简单，所有沿对角线元素都是1，其他位置所有元素都是0。矩阵A的矩阵逆记A⁽-1⁾，A⁽-1⁾A=In。求解式Ax=b,A⁽-1⁾Ax=A⁽-1⁾b,Inx=A⁽-1⁾b,x=A⁽-1⁾b。当逆矩阵A⁽-1⁾存在，能找到闭解形式。相同逆矩阵可用于多次求解不同向量b方程。逆矩阵A⁽-1⁾在数字计算机上只能表现出有限精度，有效用向量bt算法得到更精确x，逆矩阵A⁽-1⁾主要作理论工具。

参考资料：
《深度学习》

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