秩一矩阵的优良性质

前言：仅个人小记
秩一矩阵非常漂亮的五个性质：
（1）秩一矩阵一定能够拆解为两个列向量 a⃗  a → ， b⃗  b → 矩阵乘积的形式，具体为 A=a⃗ b⃗ T A = a → b → T 这种形式
（2）秩一方阵的特征值之和即矩阵的迹，即矩阵主对角线之和等于上述两个向量的内积，即 a⃗ b⃗  a → b →
（3）秩一方阵的特征值可以一眼看出，即只有一个非零特征值为 λ=traA=Σaii=a⃗ b⃗  λ = t r a A = Σ a i i = a → b → ，其他即为零特征值。
（4）很好地从另一个角度诠释了矩阵乘法，如下，
ui→,vi→ u i → , v i → 都是列向量。

UVT=([u1→,u2→,...,un→])([v1→,v2→,...,vn→]T)=u1→v1→T+u2→v2→T+...,un→vn→T U V T = ( [ u 1 → , u 2 → , . . . , u n → ] ) ( [ v 1 → , v 2 → , . . . , v n → ] T ) = u 1 → v 1 → T + u 2 → v 2 → T + . . . , u n → v n → T

上式，右侧为秩一矩阵之和。从列向量或者行向量的角度很容易理解 u⃗ v⃗ T u → v → T 是秩为一的矩阵。
（5）具备 A2=kA A 2 = k A 这种极好的可以用于解决高次幂矩阵乘法问题的性质，具体推导如下，

A=a⃗ b⃗ TA2=AA=a⃗ b⃗ Ta⃗ b⃗ T=a⃗ (b⃗ Ta⃗ )b⃗ T=ka⃗ b⃗ T=kAA2=kA A = a → b → T A 2 = A A = a → b → T a → b → T = a → ( b → T a → ) b → T = k a → b → T = k A A 2 = k A

关于第（3）点本人仍未能够给出很好的证明。据本人目前的判断，这一点是稳定是成立的。本人现有如下解释：r(A)=1， (A−λ)x⃗ =0⃗  ( A − λ ) x → = 0 → ，显然，当 λ=0 λ = 0 时，必然矩阵 A−λ A − λ 的秩为1，所以齐次线性方程组方程组必然有n-1个线性无关的解向量，而这正是完全符合特征向量的要求，n-1个特征向量撑起了n-1维的特征空间，我认为一个2重根的特征值可能只对应一个特征向量，但是如果m个线性无关特征向量对应的同一个特征值则必然这个特征值至少是m重特征根。