BFPRT算法及python实现

from mergeSort_recursion import mergesort
import random

def partion(a, m, m_index):
	#对a进行排序，使得比m小的元素放在m前面，比m大的元素放在m后面
	#输入：m_index（m在a中的index）
	#返回m前面, m后面各自元素的数目,以及m在新数组中的index
	
	#将m与数组第一个元素交换位置，然后即可像快速排序一样将所有元素以m为中间元素
	#分到左右两边
	tmp = a[0]
	a[0] = m
	a[m_index] = tmp

	i = 0
	j = len(a)-1
	control_m = a[0]
	while i < j:
		while i< j and a[j] >= control_m:
			j -= 1

		a[i] = a[j]

		while i < j and a[i] <= control_m:
			i += 1
		a[j] = a[i]

	#此时i = j， a[i]应该是最终的控制关键字所在位置
	a[i] = control_m
	print("m:{},after partion, a:{}".format(m, a))

	return i, len(a)-i-1, i


def bfprt(a, k):
	#得到a中第k大的元素

	if len(a) < 5:
		#元素数目不足5个时，排序后取index为k-1的数,即为第k大的元素
		#由于只有在元素数目很小时才使用排序，因此时间复杂度很小，可以看作常数时间复杂度
		mergesort(a,0, len(a)-1)
		return a[k-1]

	total_num = len(a)
	splits = total_num//5   #一共分成这么多组

	#获取每一个分组的中位数
	split_medians = []
	for i in range(splits):
		cur = mergesort(a[i*5:(i+1)*5],0, 4)
		mid = cur[2]
		split_medians.append(mid)

	#递归调用bfprt算法，求这些中位数的中第splits//2大的元素，也就是中位数的中位数
	m = bfprt(split_medians, splits//2)
	#求出m在a中的index
	m_index = [i for i in range(total_num) if a[i] == m][0]

	#根据m对a进行划分，线性复杂度
	#num1， num2:小于m的元素的数目， 大于m的元素数目
	num1, num2, m_index = partion(a, m, m_index)
	if k == num1+1:
		return m
	elif k <= num1:
		#说明在s1集合中
		return bfprt(a[:m_index], k)
	else:
		return bfprt(a[m_index+1:], k-1-m_index)


a = [5, 3, 1, 8, 2,10, 15, 18, 11,13, 16, 17, 12, 19, 0, 6, 4, 7, 9, 14]
random.shuffle(a)
k = 3
print(bfprt(a,7))

BFPRT算法总体思想：

1.将所有n个数据分为n/5（的向下取整）组，每一组有5个元素， 用归并/快速排序求出每一组的中位数（时间复杂度为*5log5 * n/5， 即O(n)），并递归的调用BFPRT算法求出这n/5个中位数的中位数（T(n/5)）， 也就是第n/10大的元素，记为m，找到m在原数组中的位置index（O(n)）。

2.将原数组以m为分界点，将大于m的num2个元素放在m右边，小于等于m的num1个元素放在m左边，此时m的新位置为index_new

        此处要注意，在找到m的合适位置之前，应将m与首元素位置互换。！！

3.把k与num1比较，如果k=num1+1,则说明分界点m就是第k大的元素，如果k<=num1，说明第k大的元素在m左边，接下来去m左边寻找；否则在m右边，应去m右边寻找。这样就将原问题转化为规模更小的问题了。