平衡二叉树的旋转以及BF(平衡因子)的计算

关于平衡二叉树的最重要的一句话：在构建平衡二叉树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整关系。

这句话意味着：只要破坏了平衡性，就马上修改使得二叉树重新平衡，意思就是只要修改了最小不平衡树就可以使得整个二叉树重新平衡.

 #include "stdio.h"
 #include "stdlib.h"
 #include "io.h"
 #include "math.h"
 #include "time.h"


 #define OK 1
 #define ERROR 0
 #define TRUE 1
 #define FALSE 0
 #define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

 typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */


/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */

 typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */

 {
     int data;   /* 结点数据 */
     int bf; /*  结点的平衡因子 */
     struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
 } BiTNode, *BiTree;




 /* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
 /* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */

 void R_Rotate(BiTree *P)
 {
    BiTree L;
    L = (*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */
    (*P)->lchild = L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */
    L->rchild = (*P);
    *P = L; /*  P指向新的根结点 */
 }



 /* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */

 /* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */

 void L_Rotate(BiTree *P)
 {
     BiTree R;
     R = (*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */
     (*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
     R->lchild = (*P);
     *P = R; /*  P指向新的根结点 */
 }


 #define LH + 1 /*  左高 */
 #define EH 0  /*  等高 */
 #define RH - 1 /*  右高 */


/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */

 /*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
 void LeftBalance(BiTree *T)
 {
     BiTree L, Lr;
     L = (*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */
     switch (L->bf)
    { /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
          case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */
			  (*T)->bf = L->bf = EH;
              R_Rotate(T);
           break;
          case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */
             Lr = L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */
            switch (Lr->bf)
             { /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */
                case LH: (*T)->bf = RH;
                        L->bf = EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;
                         break;
                case RH: (*T)->bf = EH;
                         L->bf = LH;
                          break;
            }
             Lr->bf = EH;
             L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */
             R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */
     }
 }

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
 /*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
 void RightBalance(BiTree *T)
 {
     BiTree R, Rl;
     R = (*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */
     switch (R->bf)
     { /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
      case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
               (*T)->bf = R->bf = EH;
              L_Rotate(T);
               break;
      case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
              Rl = R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */
              switch (Rl->bf)
              { /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */
                case RH: (*T)->bf = LH;
                         R->bf = EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;
                         break;
                 case LH: (*T)->bf = EH;
                          R->bf = RH;
                          break;
               }
               Rl->bf = EH;
               R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */
               L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */
     }
 }

/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
 /*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
 /*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */

 Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller)
{
    if (!*T)
    { /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
         *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
         (*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;
          *taller = TRUE;
    }
    else
     {
        if (e == (*T)->data)
         { /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
             *taller = FALSE; return FALSE;
         }
        if (e < (*T)->data)
         { /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */
             if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /*  未插入 */
                 return FALSE;
             if (*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
                switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
                {
                    case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
                            LeftBalance(T); *taller = FALSE; break;
                    case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
                            (*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break;
                    case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
                            (*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;
                }
         }
         else
        { /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */
            if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /*  未插入 */
                return FALSE;
             if (*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */
                 switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
               {
                    case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
                            (*T)->bf = EH; *taller = FALSE;  break;
                    case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */
                             (*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break;
                     case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
						 RightBalance(T); *taller = FALSE; break;
               }
        }
    }
    return TRUE;
 }


int main(void)

{
     int i;

	 int a[10] = { 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8 };
     BiTree T = NULL;
     Status taller;
     for (i = 0; i < 10; i++)
     {
         InsertAVL(&T, a[i], &taller);
     }
     printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
     return 0;
 }

1.关于insertAVL方法，需要说明的是，它用的是递归的思想，一层一层从下往父类修改平衡因子，而不用计算每个结点的BF，仅仅是根据左子树与右子树的高度差。因为是只要一破坏了平衡就修改，所以平衡因子的数只能是 -2、-1、0、1、2这几个数的取值。所以只要通过插入前的高度差与插入后的位置（左子树还是右子树）就可以确定现在的平衡因子。如果破坏了平衡性，就调用**Balance函数，调整平衡，并置taller为false，因为已经调整了平衡，高度并未发生改变，所以在这个结点以上的所有父亲都不用修改其平衡因子。

 

 

2.关于Balance方法，以leftBalance为例进行说明

①首先，之所以调用leftBalance是因为在插入前左子树的深度就比右子树的深度大一，现在插入的位置又是在左子树，所以左子树的深度比右子树的深度大于2，也就是最小不平衡树的顶点的平衡因子为2

②因为插入的是最小不平衡树的顶点T的左子树上L，所以需要比较顶点T 与 其左子树L 的平衡因子的符号，如果一致，就做简单的右旋转；如果不一致就先对其左子树做左旋转，再对最小不平衡树T做右旋转。——也就是说当左子树 L 的平衡因子为1时（LH）就进行简单的右旋转，为-1（RH）时就先对子树L做左旋转再对最小不平衡树T做右旋转

③关于先对左子树做左旋转，再对最小不平衡树做右旋转的平衡因子的改变。因为涉及对做子树L的左旋转，所以L的右子树Lr会受到影响,所以会根据Lr的平衡因子的不同而会有不同的改变

 

a.当Lr 的平衡因子为LH(相当于1)时，T的平衡因子变为-1，L的平衡因子变为0

b..当Lr的平衡因子为EH(相当于0）时，T的平衡因子变为0，L的平衡因子变为0

c..当Lr的平衡因子RH(相当于-1)时，T的平衡因子变为0，L的平衡因子变为1

 

可能会想：这只是特殊情况，其实并不是。因为每次旋转，受到影响的只有那么几个点，其他点的位置会改变，可是是以整体的方式变动，所以其他点的平衡因子并不会改变。rightBalance与leftBalance形成对称，所以就不画图啦