神经网络-overfitting（二）

一、概况

（一）、范数

由于正则化的定义需要使用到范数（norm）的概念，这里简单介绍一下范数的概念1。

1.物理意义

范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式，可以用来测量两个函数、向量或者矩阵之间的距离。

2.数学定义

想要成为范数，需要满足一下三个性质：

• 非负性
  ∀X∈Rn，有∥w∥≥0，当且仅当X=0时，∥w∥=0
• 齐次性
  ∀X∈Rn，α∈R，有∥αw∥=|α|∥w∥
• 三角不等式
  ∀X,Y∈Rn，有∥X+Y∥≤∥X∥+∥Y∥

3.范数分类

• 向量范数
  向量 X=(x1,x2,...,xn)T 的 LP 范数定义为：
  

  ∥X∥p=(∑i=1n|xi|p)1/p,1≤p≤+∞
  
  我们经常使用的是 p=1,2,∞ 三种向量范数：
  
  ∥X∥1=∑i=1n|xi|
  
  
  ∥X∥2=∑i=1n|xi|2−−−−−−−√
  
  
  ∥X∥∞=max1≤i≤n|xi|

• 矩阵范数
  对于方阵 A ,常用的矩阵范数有三种
  

  ∥A∥1=max1≤j≤n∑i=1n|aij|
  
  
  ∥A∥∞=max1≤i≤n∑j=1n|aij|
  
  
  ∥A∥2=λ1−−√(λ1是ATA的最大特征值)

（二）、正则化

正则化2是为了解决过拟合问题而引入的一种策略，包括L1 regularization和L2 regularization。
假设损失函数为 E(X,Y) ，权重矩阵为 w ，为了避免过拟合问题，将损失函数更正为：

E(X,Y)+α∥w∥

上式中的 ∥w∥ 表示L1范数或者L2范数， α 是由交叉验证得到的经验参数。
上面的过程称为正则化。

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二、L2 regularization

在神经网络训练中，经常使用的是L2正则化3。L2正则化以后的损失函数形式如下：

C=C0+λ2n∑ww2

其中 C0 表示原始的损失函数， n 表示训练样本的个数， λ 称为 regularization parameter。
那么，偏导数变为：

∂C∂w=∂C0∂w+λnw

∂C∂b=∂C0∂b

由上式可知，正则化的引入只对权重w有影响，对偏置b没有影响。
设学习率为 η ，权重更新公式变为：

w=w−η∂C0∂w−ηλnw=(1−ηλn)w−η∂C0∂w

b=b−η∂C0∂b

由上式可以看到权重w的系数变为了 1−ηλn ，这种 |w| 的减小称为 weight decay。
w为正，正则化使得w变小；w为负，正则化是得w变大。整体上会使得网络的权重w趋向于0。为什么趋近于0，会减弱过拟合呢？
直观上的解释是：当过拟合发生的时候，模型过度匹配训练数据，导致模型变得更为复杂，变化更为剧烈。而正则化可以对权重施加一种额外的约束，降低了模型的复杂性。
举个例子简单说明一下，假设模型为

y=w1x+w2x2+w3x3

模型的梯度可以表示为

|∂y∂x|=|w1|+2∗|w2|∗|x|+3∗w3∗|x|2

过拟合意味着y随着x的变化更为剧烈，即上式变大。
而正则化的作用是减小 |w1| 和 |w2| ，会使得上式变小，故正则化可以减弱过拟合。

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三、L1 regularization

在神经网络训练中，也可以使用L1正则化。L1正则化以后的损失函数形式如下：

C=C0+λn∑w|w|

同理，权重的更新公式可以表示如下：

w=w−η∂C0∂w−ηλnsgn(w)

和L2类似，L1的作用也是减小权重的绝对值，使得权重趋近于0。

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四、L1和L2比较

（一）、速度

根据以上讨论，当|w|很大的时候，L2的权重衰减速度更快，当|w|很小的时候，L2的速度更慢。

（二）、稀疏性

模型中为0的参数越多，稀疏性约高。一方面，稀疏性可以带来计算上的方便；另一方面，稀疏性越高，模型越容易解释（因为输出只和部分参数有关）。
根据4，L1相比于L2具有更好的稀疏特性。

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1. 《数值计算方法和算法》 张韵华 奚梅成等 ↩
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Regularization_(mathematics) ↩
3. http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap3.html#overfitting_and_regularization ↩
4. http://freemind.pluskid.org/machine-learning/sparsity-and-some-basics-of-l1-regularization/ ↩