leetcode121 Best Time to Buy and Sell Stock

leetcode#121 Best Time to Buy and Sell Stock

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

If you were only permitted to complete at most one transaction (ie, buy one and sell one share of the stock), design an algorithm to find the maximum profit.

Example 1:

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>Input: [7, 1, 5, 3, 6, 4] >Output: 5 > >max. difference = 6-1 = 5 (not 7-1 = 6, as selling price needs to be larger than buying price) > >

>

Example 2:

1 2 3 4 5

>Input: [7, 6, 4, 3, 1] >Output: 0 > >In this case, no transaction is done, i.e. max profit = 0. >

解释

这是一个应用问题，关于股票买卖。

给定一个数组，数组元素第i位表示的是：第i天的股票价格。现在允许进行的股票买卖操作是：

• 只能进行一次买和一次卖——获得利润为卖出价格减去买进价格；
• 不买不卖——利润为0。

现在需要找到最大的利润（如果不买不卖，返回利润为0）.

理解

这是一道可能可以使用暴力解法解决的问题（看限制条件，有可能暴力解法会遇到TLE的限制），所以更优的解法应该倾向于动态规划算法——将原问题划分成多个子问题，然后各个击破，最终汇总结果。

我的解法

解法一：暴力解法（遇到TLE限制）

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class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int maxPro = 0; for(int i = 0; i < prices.length; i++) { int maxTmp = 0; for(int j = i + 1; j < prices.length; j++) { maxTmp = prices[j] - prices[i]; if(maxPro < maxTmp) maxPro = maxTmp; } } return maxPro; } }

解法二：动态规划

动态规划算法，需要先定义子问题的表达式——定义得好，有利于后续构建整体的DP算法。思路如下：

利用maxProfit(int[] A, int i) 表示A[0:i] 前i个元素中，所有A[j] - A[i],(j > i) 结果的最大值——即子问题的定义，所以可以得到递归表达式：maxProfit(A, i) = maxProfit(A, i-1) > (A[i] - minVal) ? maxProfit(A, i -1) : (A[i] - minVal) 。之后，就可以对递归表达式进行细化（根据问题的大小）：是用全局变量存储，还是实实在在地使用递归方式求解。

其中，变量的含义是：

• maxPro ，全局最优值，即全局的最大利润值；
• minVal 存储遍历过程中的最小值，因为是“先买后卖”，所以只需要将后续获取第i个数组元素减去minVal ，就可以得到第i天卖出股票所获得的利润，再与maxPro 相比较即可得到全局最优值。

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class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if(prices.length == 0) return 0; int minVal = prices[0]; int maxPro = 0; for(int i = 0; i < prices.length; i++) { if(minVal > prices[i]) minVal = prices[i]; maxPro = maxPro 大专栏   leetcode121 Best Time to Buy and Sell Stock >= (prices[i] - minVal) ? maxPro : (prices[i] - minVal); } return maxPro; } }

解法二改进版：

之前一个版本中，不论minVal与prices[i] 的大小关系如何，都会进行一长串的三元操作符比较过程，相当消耗资源。于是，改进版中将三元操作符装进了条件语句中，RunTimeBeat从9%提升到了44%。

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class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if(prices.length == 0) return 0; int minVal = prices[0]; int maxPro = 0; for(int i = 0; i < prices.length; i++) { if(minVal > prices[i]) minVal = prices[i]; else { maxPro = maxPro >= (prices[i] - minVal) ? maxPro : (prices[i] - minVal); } } return maxPro; } }

大神解法

解法一：思路基本相同。

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public int maxProfit(int[] prices) { if (prices.length == 0) { return 0 ; } int max = 0 ; int sofarMin = prices[0] ; for (int i = 0 ; i < prices.length ; ++i) { if (prices[i] > sofarMin) { max = Math.max(max, prices[i] - sofarMin) ; } else{ sofarMin = prices[i]; } } return max ; }

解法二：

该解法中提到了一个算法——Kadane’s Algorithm。

上述解法都是针对数组值大于等于0的情况（因为股价不可能为负数），如果对于任意场景，特别是数组元素为负数时，上述解法将会出现问题。

而Kadane’s Algorithm提供了一种针对Max Subarray问题的普适性解决方法：

• maxCur ，将当前的maxCur 值与数组相邻两个元素之间的差值 进行相加，注意，这里的加和值需要大于0才能作为新的maxCur 值保存，否则归零——原因为：假设[...,x,y,z,...] 有三个相邻元素，如果(y-x)+(z-y)<0 即y-x ，说明z ，所以z 是当前遍历到的最小值，如果后续有较大的数W ，那么也会满足W-z>W-x ；
• maxSoFar ，保存全局最优值。

如此一来，即使数组元素有负数，也可以完成Max Subarray问题的求解。

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public int maxProfit(int[] prices) { int maxCur = 0, maxSoFar = 0; for(int i = 1; i < prices.length; i++) { maxCur = Math.max(0, maxCur += prices[i] - prices[i-1]); maxSoFar = Math.max(maxCur, maxSoFar); } return maxSoFar; }

总结

• 关于动态规划的问题，暴力解法一般也都可以使用，所以这种题型一般都会对暴力解法设置限制条件，比如TLE；
• 了解动态规划的思想是很有必要的，除了解决算法问题，动态规划可以为解决其他复杂问题提供一种简化和切入的思路，尝试定义子问题的表达式，不断简化子问题的表达式，也许就可以从中发现一些规律，从而推广到整体问题；
• 关于Max Subarray问题，Kadane’s Algorithm（也属于动态规划算法）已经将其完美解决。