数论基础总？结？

• \(gcd\)：

  inline int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a;}

• 扩展欧几里得：求\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组整数解。

  inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  {
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    int Gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return Gcd;
  }

• 费马小定理：\(a^{p-1}\equiv 1\mod p\)（\(p\)为质数）

• 欧拉定理（\(gcd(a,n)\ne 1\)）：（無駄？）
  \[ a^b\equiv \left\{\begin{array}{ll} a^b & b<\varphi(n)\\a^{b\mod\varphi(n)+\varphi(n)} & b\geq \varphi(n)\end{array}\right.\mod n \]

• 欧拉定理（\(gcd(a,n)=1\)）：\(a^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n\)（無駄？）

• 中国剩余定理（孙子定理）：\(p_1,p_2,p_3...p_k\)两两互质，求一下方程组的最小整数解
  \[ \left\{\begin{array}{ll}x\equiv a_1\mod p_1\\x\equiv a_2\mod p_2\\...\\x\equiv a_k\mod p_k\end{array}\right. \]
  令\(P=\prod p_i\)，\(P_i=\frac{P}{p_i}\)，\(t_i,P_i\)满足\(t_iP_i\equiv1\mod p_i\)。

  所以最小整数解为：\(x=\sum a_iP_it_i \mod P\)。

  inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  {
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    int Gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return Gcd;
  }
  int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read(),a[i]=read(),P*=p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int Pi=P/p[i],x,y;Exgcd(Pi,p[i],x,y);
        ans=(ans+a[i]*Pi*((x%p[i]+p[i])%p[i]))%P;
    }
    printf("%lld",ans);
  }

• 扩展中国剩余定理（儿子定理）\(p_1,p_2,p_3...p_k\)不一定两两互质，求一下方程组的最小整数解
  \[ \left\{\begin{array}{ll}x\equiv a_1\mod p_1\\x\equiv a_2\mod p_2\\...\\x\equiv a_k\mod p_k\end{array}\right. \]
  考虑两个式子：\(x\equiv a_1 \mod p_1,x\equiv a_2\mod p_2\)合并（这里是完整的推导过程）注意不同部分的模数因为其来源可能不同

  可以合并成：\(x\equiv a'\mod m'\)。其中\(a'=p_1[inv(\frac{p_1}{gcd},\frac{p_2}{gcd})\frac{a_2-a_1}{gcd}\%\frac{p_2}{gcd}]+a_1,m'=\frac{p_1p_2}{gcd}\)（\(gcd=gcd(p_1,p_2),inv(x,y)\)表示\(x\)在模\(y\)意义下的逆元，\(y\)不一定为质数，所以要用\(Exgcd\)求）

  inline int gcd(int x,int b) {return b?gcd(b,x%b):x;}
  inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  {
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    int Gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return Gcd;
  }
  inline int Inv(int a,int b){int x,y;Exgcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;}
  signed main(){
    int Jud=0;n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read(),a[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int Gcd=gcd(p[i],p[i-1]),Now,p1=p[i-1],p2=p[i],a1=a[i-1],a2=a[i];
        Now=Inv(p1/Gcd,p2/Gcd)%(p2/Gcd);
        Now=(Now*(((a2-a1)/Gcd)%(p2/Gcd))%(p2/Gcd)+(p2/Gcd))%(p2/Gcd);
        Now=((Now%(p2*p1/Gcd)*p1%(p2*p1/Gcd))%(p2*p1/Gcd)+(p2*p1/Gcd))%(p2*p1/Gcd);
        Now=(Now%(p2*p1/Gcd)+a1%(p2*p1/Gcd))%(p2*p1/Gcd);
        p[i]=p2*p1/gcd(p2,p1); a[i]=(Now%p[i]+p[i])%p[i];
    }
    print(Jud?-1:a[n]);
  }

• \(BSGS\)：求\(A^x\equiv B\mod C\)的\(x\)。（满足\(gcd(A,C)=1\)）

  设\(m=\sqrt{C}\)，令\(x=am+b\)，所以有\(A^{am}\equiv A^bB\mod C\)，预处理\(A^b\)，暴力枚举\(a\)即可。

  int m=sqrt(C)+1,now=1;
  for(int i=0;i

• 扩展\(BSGS\)：求\(A^x\equiv B\mod C\)的\(x\)。（不一定满足\(gcd(A,C)=1\)）

  令\(d=gcd(A,C)\)，则我们可以除掉\(d\)，原始变为\(\frac{A}{d}A^{x-1}\equiv \frac{B}{d}\mod \frac{C}{d}\)，不断检查\(gcd(\frac{z}{d},y)\)，一直除到互质为止，最后将减掉的补回来就行了。

  inline int EXBSGS(int A,int B,int C) 
  {
    int cnt=0,d,k=1;
    while((d=gcd(A,C))^1)
    {
        if(B%d) return -1;
        B/=d;C/=d;++cnt;
        k=(k*(A/d))%C;
        if(k==B) return cnt;
    }
    mp.clear();int m=sqrt(C)+1,now=1;
    for(int i=0;i

• 线性筛：（不多讲，直接上）

  inline void Make_Prime(int T)
  {
      Vis[1]=1;
      for(int i=2;i<=T;i++)
      {
          if(!Vis[i]) Pri[++Cnt]=i;
          for(int j=1;j<=Cnt&&i*Pri[j]<=T;j++)
          {
              Vis[i*Pri[j]]=1;
            if(!(i%Pri[j])) break;
          }
      }
  }

• \(Miller\) \(Rabin\)：

  前置定理：费马小定理，二次探测：若\(a^2\equiv 1\mod p\)且\(p\)为质数，则\(a\equiv1\)或\(p-1\mod p\)。

  假设我们判定\(x\)，将其拆为\(x=2^kt\)形式，随即一个\(a\)并求出\(a^t\)，然后依次将\(2\)乘上去，用二次探测即可。

  最好我们多测几次\(Miller\) \(Rabin\)。

  int Tex[4]={2,3,5,7};
  inline int ksm(int b,int k,int p)
  {
    int a=b; k--;
    while(k)
    {
        if(k&1) a=(a%p*b%p+p)%p;
        b=(b%p*b%p+p)%p;k>>=1;
    }
    return a%p;
  }
  inline bool Miller_Rabin(int x)
  {
    if(x==1) return 0;
    int Now=x-1,k=0;
    while(!(Now&1)) Now>>=1,k++;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        int a=ksm(Tex[i],Now,x)%x,Nex=a;
        if(x==Tex[i]) return 1;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            Nex=(a%x*a%x+x)%x;
            if(Nex==1&&a!=1&&a!=x-1) return 0;
            a=Nex;
        }
        if(a!=1) return 0;
    }
    return 1;
  }

• \(Lucas\)：懒得证明了，记着：\({n \choose m}\%p={n\%p \choose m\%p}*{n/p \choose m/p}\%p\)

  inline int ksm(int b,int k)
  {
    int a=b;k--;
    while(k)
    {
        if(k&1) a=(a%p*b%p)%p;
        b=(b%p*b%p)%p;k>>=1;
    }
    return a%p;
  }
  inline int C(int n,int m)
  {
    if(m>n) return 0;
    return (Fac[n]%p*ksm((Fac[m]%p*Fac[n-m]%p)%p,p-2)%p)%p;
  }
  inline int Lucas(int n,int m)
  {
    if(!m) return 1;
    return (C(n%p,m%p)%p*Lucas(n/p,m/p)%p)%p;
  }

至此，一些常用的数论基础都在这儿了，还有什么后面再补。