计算机科学和数学的关系

计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分
支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动
数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。

但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpi
nning of computer science(计算机科学的数学基础)，-- 也就是理论计算机科学。

现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算，传统上不包含在理
论计算机科学以内。所以本文对计算数学全部予以忽略。
最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？答：离散数学。这两者的关系是如此密
切，以至于它们在不少场合下成为同义词。

传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复
变，实变，泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程
上应用的，也以分析为主。

随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这
些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的对象是连续的，因而微分
，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计
算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以
分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。

离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：

1) 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。

2) 图论，算法图论；组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是
算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上。

3) 抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶
地发现代数竟然有如此之多的应用。

但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗？一直到大
约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。

D.E.Knuth(他有多伟大，我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete
Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义：

第一，针对abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题
关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些
数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡“具体”的数学。

在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题--公理系
统的各种性质之类。而一些具体集合的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，
数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能
够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。

第二，Concrete是Continuous(连续)加上discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学，
都是有用的数学！
前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域
包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并
行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相
交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。

下面随便举一些例子。

由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论(尤其是计算数论)
，代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。

很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这就大错特错了。
现代密码学至少包含以下层次的内容：

第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗？能否有一般的工具证明协议正
确？

第二，密码学的基本课题。例如，比以前更好的单向函数，签名协议等。

第三，密码学的高级问题。例如，零知识证明的长度，秘密分享的方法。

第四，密码学的新应用。例如，数字现金，叛徒追踪等。