L1范数正则化



L1范数正则化（ L1 regularization 或 lasso ）是机器学习（machine learning）中重要的手段，在支持向量机（support vector machine）学习过程中，实际是一种对于成本函数(cost function)求解最优的过程，因此，L1范数正则化通过向成本函数中添加L1范数，使得学习得到的结果满足稀疏化(sparsity)，从而方便人们提取特征。

L1范数正则化定义

L1范数（L1 norm）是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lassoregularization）。

比如 向量， 那么A的L1范数为

L1范数正则化原理

在支持向量机（support vectormachine）学习过程中，实际是一种对于成本函数(cost function)求解最优的过程。

成本函数的构建原理：

例如，我们有一个数学模型的样子(structure)，，其中x是输入，y是输出。如果我们已知，那么我们可以根据任何输入x的值，知道输出y的值。这叫预测(prediction)。

因此，问题进化为，我们手里有很对很多组x对应的y，但是不知道！我们想通过测量很多组的x和y，来推断出为多少。

我们将T记为，记为。

那么原式则写为

若，那么

因此我们现在知道和，我们希望通过计算得到！

由于我们手中的很多组x和y都是通过实验的结果测试出来的。测量的结果就会有误差，因此不可能计算的精准，那么我们很容易想到使用最小二乘法(least square) 来计算。

我们构建一个方程，这个方程也是最小二乘法的核心

支持向量机的本质，就是找到一组，能够让最小！

因此，就是我们的成本函数。

用最小二乘法学习的问题：

如果我们的问题是’灰箱‘（grey box）（即我们已经知道数学模型，而不知道参数），直接用最小二乘法找到是很简洁的。

如果我们的问题是‘黑箱’（black box） （即我们既不知道数学模型，也不知道参数），在拟合时，我们就不知道我们需要用几阶的多项式模型来逼近（或者几个核函数来逼近（kernel function），为了简便，不在这里赘述）。那么我们甚至连的个数都不知道。

我们只能通过尝试和专家经验来猜测阶数。如果我们的阶数猜测多了，就会多出很多冗余的项。我们希望这些冗余项对应的权值为0，这样我们就知道哪些项是无关的，是冗余的项。

但是只用最小二乘法确定时，可能所有的的绝对值都极其巨大，这是很正常的现象，但是它使得我们无法剔除无关项，得到的模型也毫无实际意义，模型处于ill-condition状态 (即输入很小的变化，就会引起输出病态的巨大的变化)。

最大复杂度模型+L1正规化（惩罚项）

我们在成本函数中加入L1范数（其实就是惩罚项），成本函数变为

其中是我们用来控制L1正规化影响的权重系数。

因此，我们的目标成为了 ： 找到一组使得最小！

继而使用最小二乘法，完成运算。

为什么要这样构建成本函数？？？

如上文所述，监督机器学习问题无非就是“minimize your error while regularizingyour parameters”，也就是在规则化参数的同时最小化误差（最小二乘法的原理）。最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，而规则化参数是防止我们的模型过分拟合我们的训练数据。因为参数太多，会导致我们的模型复杂度上升，容易过拟合，也就是我们的训练误差会很小。但训练误差小并不是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也就是能准确的预测新的样本。所以，我们需要保证模型“简单”的基础上最小化训练误差，这样得到的参数才具有好的泛化性能（也就是测试误差也小），而模型“简单”就是通过规则函数来实现的。另外，规则项的使用还可以约束我们的模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中，强行地让学习到的模型具有人想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等。 ^[1]