2019雅礼集训day1 题解
T1 three
bzoj4543原题
题解
T2 permutation
n , m ≤ 1 0 5 , A i ≤ 1 0 8 n,m\leq 10^5,A_i\leq 10^8 n,m≤105,Ai≤108
一道比较巧妙的题：
首先将 A A A按升序排序，最优的答案就是 ∑ i = 1 n ( n − i + 1 ) × A i \sum\limits_{i=1}^n (n-i+1)\times A_i i=1∑n(n−i+1)×Ai
每个操作后的排列可以用一系列二元组 ( u , v ) (u,v) (u,v)表达出来(且这个表达是唯一的)(满足 u u u单调递增)：
( u , v ) (u,v) (u,v)表示将排列 [ u − v , u ] [u-v,u] [u−v,u]循环右移一位，其代价 g ( u , v ) = ∑ i = 1 v A u − A u − i g(u,v)=\sum\limits_{i=1}^vA_u-A_{u-i} g(u,v)=i=1∑vAu−Au−i
显然 g ( u , v ) ≤ g ( u , v + 1 ) g(u,v)\leq g(u,v+1) g(u,v)≤g(u,v+1)，由增量算法向外拓展 k − 1 k-1 k−1步就得到了前 k k k小的值。
考虑主席树维护 g ( u , v ) ( 1 ≤ u ≤ n ) g(u,v)(1\leq u\leq n) g(u,v)(1≤u≤n)，初始化所有 v = 1 v=1 v=1，每次取最小的 g g g拓展。
拓展后可以得到新的两种状态：
- g ( u , v ) → g ( u , v + 1 ) g(u,v)\rightarrow g(u,v+1) g(u,v)→g(u,v+1)，将对应位置值改一下即可。
- 将 [ u − v , u ] [u-v,u] [u−v,u]循环右移，并删去区间 [ 1 , u − v − 1 ] [1,u-v-1] [1,u−v−1]，初始化现存所有位置 v = 1 v=1 v=1。
时间复杂度 O ( ( n + k ) log n ) O((n+k)\log n) O((n+k)logn)
代码比较有技巧性：
#includeT3 math
T ≤ 10 , n ≤ 1 0 9 , m ≤ 30 T\leq 10,n\leq 10^9,m\leq 30 T≤10,n≤109,m≤30
三角函数的巧妙运用(有一种化简三角函数的感觉(雾
设 f ( n , m ) = ∑ ( ∑ i = 1 m k i ) = n ∏ i = 1 m sin ( k i ⋅ x ) f(n,m)=\sum\limits_{(\sum\limits_{i=1}^mk_i)=n}\prod\limits_{i=1}^m\sin(k_i·x) f(n,m)=(i=1∑mki)=n∑i=1∏msin(ki⋅x)。
k = 1 k=1 k=1时，
f ( n − 1 , m − 1 ) × sin ( x ) → f ( n , m ) f(n-1,m-1)\times\sin(x)\rightarrow f(n,m) f(n−1,m−1)×sin(x)→f(n,m)。
k > 1 k>1 k>1时，
f ( n − k , m − 1 ) × sin ( k x ) → f ( n , m ) f(n-k,m-1)\times \sin(kx)\rightarrow f(n,m) f(n−k,m−1)×sin(kx)→f(n,m)
sin ( k x ) = sin ( x + ( k − 1 ) x ) = sin ( x ) cos ( ( k − 1 ) x ) + cos ( x ) sin ( ( k − 1 ) x ) \sin(kx)=\sin(x+(k-1)x)=\sin(x)\cos((k-1)x)+\cos(x)\sin((k-1)x) sin(kx)=sin(x+(k−1)x)=sin(x)cos((k−1)x)+cos(x)sin((k−1)x)
由
sin ( x ) cos ( k x ) = sin ( x ) ( cos ( x ) cos ( ( k − 1 ) x ) − sin ( x ) sin ( ( k − 1 ) x ) ) \sin(x)\cos(kx)=\sin(x)(\cos(x)\cos((k-1)x)-\sin(x)\sin((k-1)x)) sin(x)cos(kx)=sin(x)(cos(x)cos((k−1)x)−sin(x)sin((k−1)x))
sin ( x ) cos ( x ) cos ( ( k − 1 ) x ) + ( cos 2 ( x ) − 1 ) sin ( ( k − 1 ) x ) \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \sin(x)\cos(x)\cos((k-1)x)+(\cos^2(x)-1)\sin((k-1)x) sin(x)cos(x)cos((k−1)x)+(cos2(x)−1)sin((k−1)x)
cos ( x ) ( sin ( x ) cos ( ( k − 1 ) x ) + cos ( x ) sin ( ( k − 1 ) x ) ) − sin ( ( k − 1 ) x ) \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \cos(x)(\sin(x)\cos((k-1)x)+\cos(x)\sin((k-1)x))-\sin((k-1)x) cos(x)(sin(x)cos((k−1)x)+cos(x)sin((k−1)x))−sin((k−1)x)
cos ( x ) sin ( k x ) − sin ( ( k − 1 ) x ) \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \cos(x)\sin(kx)-\sin((k-1)x) cos(x)sin(kx)−sin((k−1)x)
得
sin ( k x ) = 2 cos ( x ) sin ( ( k − 1 ) x ) − sin ( ( k − 2 ) x ) \sin(kx)=2\cos(x)\sin((k-1)x)-\sin((k-2)x) sin(kx)=2cos(x)sin((k−1)x)−sin((k−2)x)
即 2 cos ( x ) f ( n − 1 , m ) − f ( n − 2 , m ) → f ( n , m ) 2\cos(x)f(n-1,m)-f(n-2,m)\rightarrow f(n,m) 2cos(x)f(n−1,m)−f(n−2,m)→f(n,m)
m m m这维很小可以进矩阵，所以按 n n n转移，转移方程：
f [ n ] [ m ] = 2 cos ( x ) f [ n − 1 ] [ m ] − f [ n − 2 ] [ m ] + sin ( x ) f [ n − 1 ] [ m − 1 ] f[n][m]=2\cos(x)f[n-1][m]-f[n-2][m]+\sin(x)f[n-1][m-1] f[n][m]=2cos(x)f[n−1][m]−f[n−2][m]+sin(x)f[n−1][m−1]
矩乘优化后时间复杂度 O ( m 3 log n ) O(m^3\log n) O(m3logn)
#include小结
全程打暴力。
T1经典dp&原题竟然没有做出来。
T2太巧妙了orz只会打暴力。
T3一直都没读懂题意。