【GPU Gems 学习笔记】Implementing Improved Perlin Noise

柏林噪声

柏林噪声算法(Perlin Noise)是Ken Perlin在1983年提出的一种渐变噪声。和完全随机的白噪声相比，柏林噪声做到了杂乱而有序。能够更好地模拟自然界中的随机现象的复杂性和相互间的关联性，常被用于电影视觉效果。

a. 一维柏林噪声

• 随机出一些散点；
• 对这些点进行插值获得连续的曲线；
• 用Unity的GL屏幕划线写了一下，这里用的插值函数是

b. 二维柏林噪声

• 首先定义一个晶格结构，二维的情况下就是一个网格结构。并且为每个晶格顶点赋予一个"伪随机"的梯度向量；

   

• 对于每个二维坐标点，找到与其相邻的4个晶格顶点，计算该点到各个晶格顶点的距离向量；

• 四个距离向量分别与对应的梯度向量做点乘，得到点乘结果； 

• 最后使用缓和曲线(ease curves)对点乘结果做插值求权重和；

• 效果如下：

 

一些细节

 插值函数

• 最原始的插值函数使用的是：；函数的二阶导数就是一阶导数的变化率，在图形上主要表现为函数图像的凹凸性，而它的二阶导数  在  和  时均不等于0。那么相邻的晶格处的二阶导并不连续，使得在使用噪声的导数时，将导致出现失真的效果，例如制作凹凸贴图(凹凸贴图表面的光照效果随相应的高度函数的导数而变，所以二阶导数的不连续性是可以看见的)。
• Perlin在2002发表的论文做了改进，改用5次样条做插值：，它在  和  处的 ,  阶导数均为 。 

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晶格顶点与坐标

以三维空间为例，设三维空间中的任意一点为 ：空间中的晶格坐标为，其坐标都是整数；

• 定义一点的坐标为一个整数加上小数部分，；
• 那么围绕该点的单位立方体晶格为：
  
  
• 将计算过程中的坐标范围映射到满足上述要求的范围内，比较方便计算。

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伪随机梯度向量

• 在选择晶格顶点的梯度向量的预处理阶段，我们可以借助一些随机函数，在单位正方形(二维)/单位立方体(三维)内生成梯度向量的各个分量，然后剔除那些不在单位圆(二维)/单位球(三维)内的向量，直至找到了所需数目的随机梯度向量。  将得到的梯度向量存储在一个查找表里，假设晶格的坐标，并且，那么 。
• 照常理来说，二维下需要个梯度向量，三维下需要个梯度向量，只有个的情况下势必会有重复。但Perlin认为重复是可以接受的，只要它们的间距足够大就不会被察觉。
• 除此之外，Perlin还预先生成了一个大小为的随机排列数组，里面存储的是乱序排列的0到的值。
• 对于三维空间中的某一点坐标，可以获取相对应的晶格：

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• 在后续的改进中，Perlin改用12个伪随机斜率代替256个，它们由立方体的12条棱的中点组成：，这样可以改善“污点”使其更少。 

      a.旧的噪声            b.较少污点的噪声

• 改善的原因是，相近的梯度向量如果挤在一起，使用噪声函数实现就会出现污点的情况，而12个斜率的方向是均匀分布的，不会挤在一起。
• 另外一点，该方法提升了运算效率，因为它可以避免乘法运算，如  和  的点积可以按照  做加法。

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wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Perlin_noise
Perlin2002年的论文
https://mrl.nyu.edu/~perlin/paper445.pdf
前面是对Perlin Noise详细的讲解，后面是与fbm(分形噪声)的结合
http://flafla2.github.io/2014/08/09/perlinnoise.html
https://www.jianshu.com/p/987b1349c94d
可平铺的Perlin噪声 
https://www.gamedev.net/blogs/entry/2138456-seamless-noise/
http://ronvalstar.nl/creating-tileable-noise-maps
乐乐女神对噪声的整理(Perlin,Value,Simplex,Fractal(fbm))
https://blog.csdn.net/candycat1992/article/details/50346469