损失函数与梯度提升树

上一篇文章简单介绍了几种集成方法，以随机森林为代表的平均方法，以adaboost、提升树为代表的提升方法。本文继续提升树的讨论，采用梯度提升算法，分析更一般的损失函数下的分类、回归问题。首先介绍几种在机器学习算法中常见的损失函数，继而介绍GBDT算法。

1、 损失函数

1.1、 分类问题损失函数

在二分类中把

m=y⋅f(x)

称为margin。当 m<0 时则说明误分类。基于此，下面介绍几种常见的分类损失函数。

1.1.1、 0-1损失

表达式为：

L01(m)=I(sign(f)≠y)

或者

L01(m)={0,m⩾01,m<0

即只对误分类样本进行惩罚，类似有后列几种损失。

1.1.2、 指数损失

表达式：

Le=exp(−yf)

Adaboost算法就是用的此种损失函数。在上一篇文章中有介绍。

1.1.3、 log损失

表达式：

Ll=log(1+exp(−yf))

在逻辑回归中用到的损失函数。

1.1.4、均方损失

表达式：

L2=(y−f)2

1.1.5、hinge损失

表达式：

Lh=(1−yf)+

在支持向量机中使用。

1.1.6、偏差损失函数

考虑K分类问题，假设在第k类的概率：

pk(x)=exp(fk(x))∑Kl=1exp(fl(x))

则多项式偏差：

L(y,p(x))=−∑k=1KI(y=gk)logpk(x)=−∑k=1KI(y=gk)fk(x)+log(∑k=1Kexp(fl(x)))

在gbdt分类中默认使用此损失函数。

1.2、 回归问题损失函数

下面介绍三种回归问题中常见的的损失函数。

1.2.1、 均方损失

表达式：

L(y,f(x))=(y−f(x))2

1.2.2、绝对损失

表达式：

L(y,f(x))=|y−f(x)|

1.2.3、Huber 损失

表达式：

L(y,f(x))={(y−f(x))2,  |y−f(x)|⩽δ2δ(|y−f(x)|−δ2),  otherwise

Huber损失相对于前两种损失更具有鲁棒性。

2、 GBDT算法

上篇文章已经介绍，当分类问题是指数损失，回归问题是均方损失时，用提升树算法很简单。当损失函数更为一般时，可以使用梯度提升的方法快速迭代，即为GBDT算法。在R中的包名为gbm，在python中的sklearn.ensemble目录下对应GradientBoostingRegressor和GradientBoostingClassifier。

2.1、 分类问题

GBDT在分类中的损失函数可选偏差损失和指数损失，默认是偏差损失，当选择指数损失时则还原为adaboost算法。前文已经介绍这两种损失，主要介绍偏差损失下K分类算法。

根据偏差损失：

pk(x)=exp(fk(x))∑Kl=1exp(fl(x))

L(y,p(x))=−∑k=1KI(y=gk)logpk(x)=−∑k=1KI(y=gk)fk(x)+log(∑k=1Kexp(fl(x)))

则负梯度：

−gikm=−∂L(yi,f1m(xi),...,fKm(xi))∂fkm(xi)=I(yi=gk)−pk(xi)

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梯度提升树K分类算法
1. 初始化 fk0(x)=0,k=1,2,...,K .
2. for (m=1:M):
(a)计算：

pk(x)=exp(fk(x))∑Kl=1exp(fl(x)),  k=1,2,...,K

.
(b)for (k=1:K):
i. 计算 rikm=yik−pk(xi),  i=1,2,...,N
ii. 对 rikm,  i=1,2,...,N 生成一颗 回归树，划分区域 Rjkm,  j=1,2,...,Jm
iii. 计算：

γjkm=K−1K⋅∑xi∈Rjkmrikm∑xi∈Rjkm|rikm|(1−|rikm|),  j=1,2,...,Jm

iv. 更新：

fkm(x)=fk,m−1(x)+∑j=1JmγjkmI(x∈Rjkm)

.
3. 输出 fk^(x)=fkM(x),  k=1,2,...,K .

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说明：
2(a)得到第k类的概率，类似多项逻辑回归。
特别地当处理二分类问题时，只需生成一颗回归树。

2.2、 回归问题

当提升树处理损失函数是均方损失的回归问题时，每次迭代拟合当前的残差生成一颗回归树。更一般的情况，根据加法模型

Θ^m=argminΘm∑i=1NL(yi,fm−1(xi)+T(xi;Θm))

因此，若每次新增的树在损失函数负梯度方向上，则能够令损失函数最速下降。

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梯度提升树回归算法：
1. 初始化 f0(x)=argminγ∑Ni=1L(Yi,γ) .
2. for (m=1:M):
(a) for(i=1:N)，计算

rim=−[∂L(yi,f(xi))∂f(xi)]f=fm−1

(b) 根据 rim 拟合回归树，划分得到区域 Rjm,  j=1,2,...,Jm
(c)for ( j=1,2,...,Jm )，计算

γjm=argminγ∑xi∈RjmL(yi,fm−1(xi)+γ)

(d)更新 fm(x)=fm−1(x)+∑Jmj=1γjmI(x∈Rjm) 。
3. 输出 f^(x)=fM(x)

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说明：当损失函数为均方损失时，2(c)中 γjm 为 Rjm 中的均值。