递推——Codeforces 319A

• 链接：http://codeforces.com/problemset/problem/319/A

• 题意：给出一个长度为n的01串表示一个数 x ，现在有2支队伍A，B分别有 2n 个队员，标号为 0，1，2，...，2n−1 , A中标号为 i 的队员和B中标号为 ix 的队员配对，求这些配对的复杂度，即所有配对中满足 在配对<a，b>和<c，d>有a<c，b>d ， 的配对组有多少组。简化为求逆序数对的个数。

• 分析：我们可以从 01 串入手，当n=1的时候，如果是单个0，复杂度为0；如果是单个1，复杂度为1。进一步思考：如果在一个长度为 n 的01串表示为 x 后增加一个0的话，即增加了 2n 个配对，又最后这个0是不会改变标号的最高位的数字的值，那么相当于与这一位异或不会影响到原来数的大小顺序，即对对应标号的大小无影响，所以新增加的 2n 个配对的复杂度还是和前面的01串有关，即新增加的配对的复杂度等于前n个01串的结果，然后总的复杂度*=2；如果在它后面增加一个1的话，首先还是和0一样，新增加的 2n 个配对中内部的复杂度还是和前面的复杂度一样，但是由于最高位为1，所以导致之前 2n 个配对和之后 2n 个配对构成新的逆序关系，即增加了 2n 个逆序数

• 递推关系：

if(str[0]=='0') DP[0] = 0;
else DP[0] = 1;

for(int i=1;iif(str[i]=='0') DP[i] = 2*DP[i-1]%mod;
    else DP[i] = (2*DP[i-1]%mod + PowerMod(2, 2*i, mod))%mod;
}

• AC代码：

/*************************************************************************
    > File Name: test.cpp
    > Author: Akira 
    > Mail: [email protected] 
 ************************************************************************/

#include
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long double LD;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) ((a)*(a))
using namespace std;

#define MaxN 100001
#define MaxM MaxN*10
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI 3.1415926535897932384626
const int mod = 1E9+7;
const double eps = 1e-6;
#define bug cout<<88888888<
#define debug(x) cout << #x" = " << x << endl;


string str;
int DP[110];

LL PowerMod(LL a, LL b, LL c) 
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0)
    {
        if(b % 2 == 1) ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    //std::ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin >> str)
    {
        std::reverse(str.begin(), str.end());
        CLR(DP);
        int len = str.length();
        if(str[0]=='0') DP[0] = 0;
        else DP[0] = 1;
        for(int i=1;iif(str[i]=='0') DP[i] = 2*DP[i-1]%mod;
            else DP[i] = (2*DP[i-1]%mod + PowerMod(4, i, mod))%mod;
        }
        printf("%d\n", DP[len-1]%mod);
        //for(int i=len-1;i>=0;i--) cout << DP[i] << endl;
    }
    //system("pause");
}