[HDU1588]Gauss Fibonacci（递推+矩阵快速幂）

题目描述

传送门
题意
给出整数k,b,n,Mod.
令F(n)为Fibonacci数列的第n项，f(x)=kx+b，求 ∑i=0n−1F(f(i))
答案对Mod取模。

题解

经典的二分递推+矩阵快速幂的题目。
和POJ3233有点相似。
初始矩阵

A=[1110]

则 An 的(1,2)位置表示Fibonacci数列的第n项的值。
令

sum(i)=∑i=1nAf(i)

那么对于 sum(x) ，考虑从 sum(⌊x2⌋) 递推过来

一个性质显然：

f(x+y)=f(x)+f(y)−b

如果x为偶数，则

sum(x)=(1+Af(x2)−b)∗(Af(1)+Af(2)+……+Af(x2))

即

sum(x)=(1+Af(x2)−b)∗sum(x2)

如果x为奇数，则

sum(x)=Af(1)+(Af(1)−b+Af(⌊x2⌋+1)−b)∗(Af(1)+Af(2)+……+Af(⌊x2⌋))

即

sum(x)=Af(1)+(Af(1)−b+Af(⌊x2⌋+1)−b)∗sum(⌊x2⌋)

这样直接递推就好了。

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long

int k,b,n,Mod;
struct hp{LL a[3][3];}unit,A,A_b,A_kb,ans;

inline hp jia(hp a,hp b)
{
    for (int i=1;i<=2;++i)
        for (int j=1;j<=2;++j)
            a.a[i][j]=(a.a[i][j]+b.a[i][j])%Mod;
    return a;
}
inline hp cheng(hp a,hp b)
{
    hp ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for (int i=1;i<=2;++i)
        for (int j=1;j<=2;++j)
            for (int k=1;k<=2;++k)
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%Mod)%Mod;
    return ans;
}
inline hp matrix_fast_pow(hp a,LL p)
{
    hp ans=unit;
    for (;p;p>>=1,a=cheng(a,a))
        if (p&1)
            ans=cheng(ans,a);
    return ans;
}
inline hp dfs(int x)
{
    if (x==1) return A_kb;
    hp now=dfs(x/2);
    if (x%2==0)
    {
        hp nxt=matrix_fast_pow(A,(LL)k*(LL)(x/2));
        nxt=jia(nxt,unit);
        nxt=cheng(nxt,now);
        return nxt;
    }
    else
    {
        hp nxt=matrix_fast_pow(A,(LL)k*(LL)(x/2+1));
        hp A_f=matrix_fast_pow(A,(LL)k+(LL)b);
        hp A_fb=matrix_fast_pow(A,(LL)k);
        nxt=jia(nxt,A_fb);
        nxt=cheng(nxt,now);
        nxt=jia(nxt,A_f);
        return nxt;
    }
}

int main()
{
    for (int i=1;i<=2;++i) unit.a[i][i]=1;
    A.a[1][1]=A.a[1][2]=A.a[2][1]=1; A.a[2][2]=0;
    while (~scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&Mod))
    {
        A_b=matrix_fast_pow(A,(LL)b);
        A_kb=matrix_fast_pow(A,(LL)k+(LL)b);
        if (n==1)
        {
            printf("%I64d\n",A_b.a[1][2]);
            continue;
        }
        ans=dfs(n-1);
        ans=jia(ans,A_b);
        printf("%I64d\n",ans.a[1][2]);
    }
}