算法/贪心算法/FractionalKnapsack部分背包问题

问题描述

给定N个物品和一个背包，物品i的质量是Wi，其价值位Vi，背包的容量为C，问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？
与0-1背包不同的是在选择物品的时候，每个商品可以只装该商品的一部分。
可参考 0-1背包问题

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基本思路/贪心算法

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题他能产生整体最优解或者是整体最优解的近似解。

用贪心算法解决此问题的基本思路是，首先计算出每种物品单位质量的价值，然后依次将单位价值最高的物品尽可能多的装入背包中：若将这种物品全部装入后背包仍未满，则考虑单位质量价值次高的物品，直至背包装满。可以看出，排序在这里是非常重要的。
0-1背包问题不能用贪心算法求解，这是因为每种物品只能选择装或者不装，不能保证将背包正好装满。

java代码如下：

public class FractionalKnapsack {

    private int w[];//物品质量
    private int v[];//物品价值
    private int C;//背包容量

    private int n;//物品个数
    private double r[];//单位质量物品价值v/w
    private int index[];//记录数组下标变化
    private double x[];//记录物品被装如情况

    private FractionalKnapsack(int[] w, int[] v, int C) {
        this.w = w;
        this.v = v;
        this.C = C;
        n = w.length;
        r = new double[n];
        index = new int[n];
        x = new double[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            r[i] = v[i] / w[i];
            index[i] = i;
            x[i] = 0;
        }
    }

    private void fractionalKnapsack() {

//        将r[]由大到小排序,对应的index[]也一并排序
        for (int i = 0; i < r.length; i++) {
            for (int j = 1; j < r.length - i; j++) {
                if (r[j - 1] < r[j]) {
                    double t = r[j - 1];
                    r[j - 1] = r[j];
                    r[j] = t;

                    int temp = index[j];
                    index[j] = index[j - 1];
                    index[j - 1] = temp;
                }
            }
        }

//        将排序后的质量和价值存入新数组w1[]和v1[]中
//        即w1[]和v1[]是按照r[]由大到小排序的
        int[] w1 = new int[n];
        int[] v1 = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            w1[i] = w[index[i]];
            v1[i] = v[index[i]];
        }

//        整件物品i被装下,x[i]=1
        int i;
        for (i = 0; i < n; i++) {
            if (w1[i] > C) {
                break;
            }
            x[index[i]] = 1;
            C -= w1[i];
        }

//        部分物品i被装下,x[i]为被装入的比例
        if (i < n) {
            x[index[i]] = (double) C / w1[i];
        }

//        打印结果
        System.out.println("被装入物品x的质量及数量为：");
        for (i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println((i + 1) + "  " + w[i] + "  " + x[i]);
        }


    public static void main(String args[]) {
        int[] w = {30, 20, 10};
        int[] v = {120, 100, 60};
        int C = 50;
        FractionalKnapsack f = new FractionalKnapsack(w, v, C);
        f.fractionalKnapsack();
    }