数据结构之二叉树递归操作

二叉树（binary tree)是n(n>=0）个结点的有限结合，该集合或者为空集（ 空二叉树），或由一个根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树（ left subtree)和右子树（right subtree)的二叉树组成。
二叉树的特点：
1.每个结点最多有两棵字树，所以二叉树中不存在度大于2的结点
2.二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒，即使树中的某个结点只有一棵
字树，也要区分它是左子树还是右子树。
下面介绍几种特殊的二叉树：
1.斜树
所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树；所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树。是两棵不同的二叉树。如下示意图。

2.满二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右字树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如下示意图。

     

3.完全二叉树
对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。显然一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，完全二叉树的特点是：
1.如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。
2.叶子结点只能出现在最下面两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树左侧连续的位置。

             

以上图画的不是太优雅，大家不要介意哈。
关于二叉树的更多的性质，请读者查看维基百科( 点击打开链接)或者其他资料。

在 编程语言 中能用多种方法来构造二叉树。常用的是顺序存储结构和二叉链表存储结构。
顺序存储结构：
二 叉树可以用 数组 或线性表来存储，而且如果这是 满二叉树 ，这种方法不会浪费空间。用这种紧凑排列，如果一个结点的索引为i ，它的子结点能在索引2i +1和2i +2找到，并且它的父节点（如果有）能在索引 floor((i-1)/2) 找到（假设根节点的索引为0）。这种方法更有利于紧凑存储和更好的 访问的局部性 ，特别是在前序遍历中。然而，它需要连续的 存储空间 ，这样在存储高度为 h 的 n 个结点组成的一般普通树时将会浪费很多空间。一种最极坏的情况下如果深度为h的二叉树每个节点只有右孩子需要占用2的h次幂减1，而实际却只有h个结点，空间的浪费太大，这是顺序存储结构的一大缺点。

                                                               

对于顺序存储结构，本文不作介绍，这种存储结构的缺点导致物理空间的浪费，是我们难以接受的。下面重点介绍二叉链表存储结构。

二叉链表存储结构：
在使用记录或内存地址指针的编程语言中，二叉树通常用树结点结构来存储。有时也包含指向唯一的父节点的指针。如果一个结点的子结点个数小于2，一些子结点指针可能为空值，或者为特殊的哨兵结点。 使用链表能避免顺序储存浪费空间的问题，算法和结构相对简单，但使用二叉链表，由于缺乏父链的指引，在找回父节点时需要重新扫描树得知父节点的节点地址。

                     

以上的存储结构示意图我想看的很清楚，这种结构减少了一定空间的浪费，但是这一定是最好的存储结构么，后续的文章会谈及线索二叉链表。
对于二叉链表最重要的操作莫过于遍历了，概括来说有递归和非递归两种，本文介绍的是递归遍历二叉树。

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 #include<iostream>
 using namespace std;
 typedef struct node
 {
     struct node *leftChild;
     struct node *rightChild;
     char data;
 }BiTreeNode, *BiTree;

 void createBiTree(BiTree &);
 void PreOrderBiTree(BiTree *);
 void InOrderBiTree(BiTree *);
 void PostOrderBiTree(BiTree *);
 int BiTreeDeep(BiTree *);
 int LeafTreecount(BiTree *);

 void createBiTree(BiTree &T)
 {
     char c;
     cin >> c;
     if ('#' == c)
         T = NULL;
     else
     {
         T = new BiTreeNode;
         T->data = c;
         createBiTree(T->leftChild);
         createBiTree(T->rightChild);
     }
 }

 void PreOrderBiTree(BiTree &T)
 {
     if (T == NULL)
         return;
     cout << T->data << " ";
     PreOrderBiTree(T->leftChild);
     PreOrderBiTree(T->rightChild);

 }
 void InOrderBiTree(BiTree &T) {

     if (T == NULL)
         return;
         InOrderBiTree(T->leftChild);
         cout << T->data << " ";
         InOrderBiTree(T->rightChild);

 }
 void PostOrderBiTree(BiTree &T) {
     if (T == NULL)
         return;
     PostOrderBiTree(T->leftChild);
     PostOrderBiTree(T->rightChild);
     cout << T->data<<" ";
 }

 int BiTreeDeep(BiTree T)
 {
     int deep = 0;
     if (T)
     {
         int leftdeep = BiTreeDeep(T->leftChild);
         int rightdeep = BiTreeDeep(T->rightChild);
         deep = leftdeep >= rightdeep ? leftdeep + 1 : rightdeep + 1;
     }
     return deep;
 }

 //求二叉树叶子结点个数

 int LeafTreecount(BiTree T,int &num)
 {
     if (T)
     {
         if (T->leftChild == NULL &&T->rightChild == NULL)
             num++;
         LeafTreecount(T->leftChild,num);
         LeafTreecount(T->rightChild,num);

     }
     return num;
 }
 void DeleteBiTree(BiTree T) {
     if (T == NULL)
         return;
     DeleteBiTree(T->leftChild);
     DeleteBiTree(T->rightChild);
     delete T;

 }
 int main()
 {
 BiTree T;
 cout << "输入的字符是：" << endl;
 createBiTree(T);
 cout << "前序遍历:" << endl;
 PreOrderBiTree(T); \
 cout << endl;
 cout <<"中序遍历:"<< endl;
 InOrderBiTree(T);
 cout << endl;
 cout << "后序遍历:" << endl; \
 PostOrderBiTree(T);
 cout << endl;
 cout << "二叉树的高度为：" << BiTreeDeep(T) << endl;
 int num = 0;
 cout << "二叉树的叶子结点个数为:" << LeafTreecount(T, num)<< endl;
 DeleteBiTree(T);
 cout << "树已销毁！！！" << endl;
 return 0;
 }

运行结果如下：

一定要注意创建的二叉树时的方法，上面也是通过递归的方法创建二叉树，根据前中后序遍历，很容易画出这棵二叉树：（如下字母即指结点又指结点数据域）

                                              

下面详细的介绍是如何进行递归遍历的，以上面构建的二叉树为例：
前序遍历：
调用PostOrderBiTree(BiTree &T)，T根结点不为空，打印字符A
再调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，访问根结点的左孩子，不为NULL,打印字符B
再次调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，访问B结点的左孩子，不为空，打印C
再次调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，访问结点C的左孩子，因为C没有左孩子，T=NULL,返回函数。调用PreOrderBiTree(T->rightChild)，C的右孩子也为空，此时返回到 上一级递归的函数，也就是打印B结点的函数；此时调用PreOrderBiTree(T->rightChild)，B没有右孩子，为空，此时返回到上一级递归的函数，就是打印A结点的函数;此时调用PreOrderBiTree(T->rightChild)，打印了D；调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，因为D没有左孩子，T=NULL,返回函数，调用了PreOrderBiTree(T->rightChild),D也没有右孩子，T=NULL,返回函数，到此前序遍历了整个二叉树。
中序遍历：
调用PostOrderBiTree(BiTree &T)，T根结点不为空
调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，访问根结点的左孩子B，不为NULL
调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，访问B结点的左孩子C，不为NULL
调用PreOrderBiTree(T->leftChild)，访问C结点的左孩子，由于C结点没有左孩子，所以T=NULL,返回函数；打印字符C,又调用PreOrderBiTree(T->rightChild)，因为C没有右PreOrderBiTree(T->rightChild)孩子，所以返回到上级递归函数，打印字符B;调用PreOrderBiTree(T->rightChild)，由于B没有右孩子，返回到上级递归函数；打印字符A,调用了PreOrderBiTree(T->rightChild)，访问了根结点的右孩子D,不为空；然后调用了PreOrderBiTree(T->leftChild)，因为D没有左孩子，返回函数；打印字符D,又调用PreOrderBiTree(T->rightChild)，因为D没有右孩子，返回函数，到此中序遍历了整个二叉树。
后序遍历操作读者感兴趣可以自己完成，这里不作赘述，从上面的分析，整个过程不是太复杂，关键要理解递归的思想。
代码中也简单实现了打印二叉树的叶子结点个数，二叉树的高度，以及销毁一棵二叉树。如果明白了二叉树的创建和遍历，那么树的其他操作对于我们也不是难事。