数据降维——多维缩放MDS

多维缩放（Multidimensional Scaling, MDS）是一组对象之间的距离的可视化表示，也可以当做一种无监督降维算法使用。

为了直观了解MDS，给一个简单例子。假设现在给定一组城市之间的距离信息如下：

现在要求绘制一幅地图，在地图中标出所有城市，并且城市之间的距离等于上表中给出的距离。显然，这种图不是唯一的，因为平移、旋转操作并不改变距离。其中一种绘制方法如下图：

MDS应用在数据降维时，基本思想和上面的例子相同：保证所有数据点对在低维空间中的距离等于在高维空间中的距离。

假设给定N个实例，可以计算出原始空间中的距离矩阵 D∈RN×N ，其中第 i 行第 j 列的元素 dij 表示第 i 个实例和第 j 个实例之间的距离。现在希望把数据降维到 d′ 维空间中去，得到所有样本点在 d′ 中的表示 Z∈RN×d′ ，其中 zTi,:∈Rd′ 表示第 i 个实例，并且任意两个实例在 d′ 维空间中的距离等于原始空间中的距离。事实上，可以推导出满足此条件 Z 的解析解。

由保持距离原则可知

d2ij=||zi−zj||2=||zi||2+||zj||2−2zTizj.(1)

不失一般性，我们假设低维空间中的实例点是中心化的，即

∑i=1Nzi=0,

那么对公式(1)的左右两边求和，有

∑i=1Nd2ij=∑i=1N||zi||2+N||zj||2,(2)

∑j=1Nd2ij=N||zi||2+∑j=1N||zj||2,(3)

∑i=1N∑j=1Nd2ij=2N∑i=1N||zi||2,(4)

由(2)(3)(4)可知：

1N∑i=1Nd2ij=1N∑i=1N||zi||2+||zj||2,(5)

1N∑j=1Nd2ij=||zi||2+1N∑j=1N||zj||2,(6)

1N2∑i=1N∑j=1Nd2ij=21N∑i=1N||zi||2,(7)

定义内积矩阵 B=ZZT∈RN×N ，即 bij=zTizj 。则

bij=−12(1N2∑i=1N∑j=1Nd2ij−1N∑i=1Nd2ij−1N∑j=1Nd2ij+d2ij).(8)

对矩阵 B 做特征分解，得到

B=VΛVT,(9)

其中， Λ 是由B的特征值生成的对角矩阵， V 是特征向量作为列的矩阵。

我们希望降到 d′ 维空间中，那么选择前 d′ 个最大特征值及对应的特征向量，得到 Λd′ 和 Vd′ ，则降维后的特征表示为

Z=Vd′Λ12d′.(10)

参考

[1] Multidimensional Scaling: Definition, Overview, Examples
[2] 数据降维之多维缩放MDS（Multiple Dimensional Scaling）