算法设计与分析——分治

分治：分而治之。先将问题分解divide为k个相似的子问题，递归地分解到很小的情形，然后容易地解决conquer之，最后递归地合并combine。分治在之前就接触过，如二分查找，二分归并排序，都是 O(logn) ，比暴力的 O(n) 要好太多。上讲提到了主定理，主定理对于求解分治的递推方程很有用。下面用几个经典实例来呈现分治的魅力。

Fibonacci 数列

Fn=Fn−1+Fn−2

如果采用暴力求解，一个个累加，自然是 O(n) 。

但采用线性代数的思想，我们发现

(Fn+1FnFnFn−1)=(FnFn−1Fn−1Fn−2)(1110)=(1110)n

惊奇的是，Fiboncci可以用矩阵的幂来求，幂是人们所喜欢的，因为可以分治，二分法可以轻松地使求幂的复杂度将为对数。考虑到矩阵乘法只是纯数乘法的一个倍数，故降为 O(logn) 。

Strassen 矩阵乘法

两个n级矩阵相乘，暴力求法是 O(n3) ，但这能不能再改进呢？显然，平凡的下界是 O(n2) ，最早strassen给出了 O(nlog7) 的算法。

如果我们只是将矩阵拆成四块，然后逐一相乘，就会产生8个子问题，由主定理，复杂度还是n^3。减少一个子问题都是效果显著的。strassen通过增加中间结果的加减法，成功减少为7个子问题。

递推方程为 T(n)=7T(n/2)+cn2 . 由主定理，时间复杂度为 O(n2.8) .

图1图2摘自http://www.mamicode.com/info-detail-673908.html
图3摘自算法导论