UOJ408 IOI2018 机械娃娃

Problem

UOJ

Solution

IOI的题很适合按subtask做

先考虑子任务3，对于每个触发器后面接的触发器，如果有4个，可以设计一个完全二叉树的结构，如果仅有3个只需要把XX这条边指向自己即可。这样构造出的开关不会超过 $N$。

再考虑子任务4，N是2的整数次幂。不难发现子任务3的方法浪费了很多开关，不妨尝试对整个序列构建完全二叉树结构，把起点指向第一个触发器，所有触发器指向完全二叉树的根。

我们可以把同一层的深度的点向X走视作0，向Y走视作1，那么其实每走一次就相当于给当前代表的数进行+1操作，然后输出它的二进制串的反串能走到的地方，即第 $i$ 次取出的节点就是 $\text{FFT}$ 中的 $rev[i]$ 。不难发现我们会在这棵树中走完 $0\sim 2^k-1$，就保证了每个节点都被走过偶数次。

考虑子任务5，构建的完全二叉树中有很多叶子都是空的，一个显然的想法是如果一个开关子树内都是空的，我们可以直接把它指向根。为了节省更多的开关，我们会希望能把它集中在一起，那么我们就只取最右边的那些叶子即可。

计算一下，子树内没有空叶子的开关最多仅有 $N$ 个，每层最多仅有1个不满的开关，因此答案不会超过 $N+{\log }_{2}N$。

Code

#include "doll.h"
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vec;
const int maxn=300010;
template <typename Tp> int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> void read(Tp &x)
{
	x=0;char ch=getchar();int f=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
	if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();
	if(f) x=-x;
}
int n,N,l,tot,rt,rev[maxn],t[maxn],to[maxn];
vec c,x,y;
vector<int>::iterator itr;
int build(int l,int r)
{
	if(l==r) return l>=N-n?to[l]:-N;
	int m=(l+r)>>1,lc,rc;
	lc=build(l,m);rc=build(m+1,r);
	if(lc==-N&&rc==-N) return -N;
	x.push_back(lc);y.push_back(rc);
	return -x.size();
}
void create_circuit(int m,vec a)
{
	n=a.size();a.push_back(0);
	for(N=1,l=0;N<n;N<<=1) ++l;
	for(int i=0;i<N;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	memset(t,0xff,sizeof(t));
	for(int i=N-n;i<N;i++) t[rev[i]]=i;
	for(int i=0;i<N;i++) if(~t[i]) to[t[i]]=a[++tot];
	rt=build(0,N-1);c.push_back(a[0]);
	for(int i=1;i<=m;i++) c.push_back(rt);
	for(itr=x.begin();itr!=x.end();++itr) if(*itr==-N) *itr=rt;
	for(itr=y.begin();itr!=y.end();++itr) if(*itr==-N) *itr=rt;
	answer(c,x,y);
}