多层感知机(Multi-Layer Perception)

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多层感知机及其BP算法（Multi-Layer Perception）

Deep Learning 近年来在各个领域都取得了 state-of-the-art 的效果，对于原始未加工且单独不可解释的特征尤为有效，传统的方法依赖手工选取特征，而 Neural Network 可以进行学习，通过层次结构学习到更利于任务的特征。得益于近年来互联网充足的数据，计算机硬件的发展以及大规模并行化的普及。本文主要简单回顾一下 MLP ，也即为Full-connection Neural Network ，网络结构如下，分为输入，隐层与输出层，除了输入层外，其余的每层激活函数均采用 sigmod ，MLP 容易受到局部极小值与梯度弥散的困扰，如下图所示：

MLP 的 Forward Pass

MLP 的 BP 算法基于经典的链式求导法则，首先看前向传导，对于输入层有 I 个单元， 对于输入样本 (x,z) ，隐层的输入为：

ah=∑i=1Iwihxi

bh=f(ah)

这里函数 f 为 非线性激活函数，常见的有 sigmod 或者是 tanh ，本文选取 sigmod 作为激活函数。计算完输入层向第一个隐层的传导后，剩下的隐层计算方式类似，用 hl 表示第 l 层的单元数：

ah=∑h′=1hl−1wh′hbh′

bh=f(ah)

对于输出层，若采用二分类即 logisticregression ，则前向传导到输出层：

a=∑h′wh′hbh′

y=f(a)

这里 y 即为 MLP 的输出类别为 1 的概率，输出类别为 0 的概率为 1−y ，为了训练网络，当 z=1 时， y 越大越好，而当 z=0 时， 1−y 越大越好，这样才能得到最优的参数 w ，采用 MLE 的方法，写到一起可以得到 yz(1−y)1−z 这便是单个样本的似然函数，对于所有样本可以列出 log 似然函数 O=∑(x,z)zlogy+(1−z)log(1−y) ，直接极大化该似然函数即可，等价于极小化以下的 −log 损失函数：

O=−⎡⎣∑(x,z)zlogy+(1−z)log(1−y)⎤⎦

对于多分类问题，即输出层采用 softmax ，假设有 K 个类别，则输出层的第 k 个单元计算过程如下:

ak=∑h′wh′kbh′

yk=f(ak)

则得到类别 k 的概率可以写作 ∏kyzkk ，注意标签 z 中只有第 k 维为 1 ，其余为 0 ，所以现在只需极大化该似然函数即可:

O=∏(x,z)∏kyzkk

同理等价于极小化以下损失：

O=−∏(x,z)∏kyzkk

以上便是 softmax 的损失函数，这里需要注意的是以上优化目标 O 均没带正则项，而且 logistic 与 softmax 最后得到的损失函数均可以称作交叉熵损失，注意和平方损失的区别。

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Backward Pass

有了以上前向传导的过程，接下来看误差的反向传递，对于 sigmod 来说，最后一层的计算如下： a=∑hwh⋅bh , y=f(a)=σ(a) 这里 bh 为倒数第二层单元 h 的输出， σ 为 sigmod 激活函数，且满足 σ′(a)=σ(a)(1−σ(a)) ，对于单个样本的损失 ：

O=−[zlog(σ(a)+(1−z)log(1−σ(a))]

可得到如下的链式求导过程：

∂O∂wh=∂O∂a⋅∂a∂wh

显而易见对于后半部分 ∂a∂wh 为 bh ，对于前半部分 ∂O∂a :

∂O∂a=−∂[z log(σ(a))+(1−z)log(1−σ(a))]∂a=−[zσ(a)−1−z1−σ(a)]σ′(a)=−[zσ(a)−1−z1−σ(a)]σ(a)(1−σ(a))=σ(a)−z=y−z

以上，便得到了 logistic 的残差，接下来残差反向传递即可，残差传递形式同 softmax ，所以先推倒 softmax 的残差项，对于单个样本， softmax 的 log 损失函数为：

O=−∑izilogyi

其中：

yi=eai∑jeaj

根据以上分析，可以得到 yk′ 关于 ak 的导数:

∂yk′∂ak=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∑i≠keaj⋅eak∑jeaj⋅∑jeajeak′⋅eak∑jeaj⋅∑jeaj=yk(1−yk)    k′=k=−yk′yk         k≠k

现在能得到损失函数 O 对于 ak 的导数：

∂O∂ak=∂[−∑izilogyi]∂ak=−∑izi⋅∂logyi∂ak=−∑izi1yi∂yi∂ak=−zk(1−yk)−∑i≠kzi1yi(−yiyk)=−zk+zkyk+∑i≠kziyk=−zk+yk(∑izi)=yk−zk

这里有 ∑izi=1 ，即只有一个类别。 到这一步， softmax 与 sigmod 的残差均计算完成，可以用符号 δ 来表示，对于单元 j ，其形式如下：

δj=∂O∂aj

这里可以得到 softmax 层向倒数第二层的残差反向传递公式：

δh=∂O∂bh⋅∂bh∂ah=∂bh∂ah∑k∂O∂ak⋅∂ak∂bh=f′(ah)∑kwhkδk

其中 ak=∑hwhkbh ，对于 sigmod 层，向倒数第二层的反向传递公式为：

δh=∂O∂bh⋅∂bh∂ah=∂bh∂ah⋅∂O∂a⋅∂a∂bh=f′(ah)whδ

以上公式的 δ 代表 sigmod 层唯一的残差，接下来就是残差从隐层向前传递的传递过程，一直传递到首个隐藏层即第二层（ 注意，残差不会传到输入层，因为不需要，对输入层到第二层的参数求导，其只依赖于第二层的残差，因为第二层是这些参数的放射函数）：

δh=f′(ah)∑h′=1hl+1whh′δh′

整个过程可以看下图：

最终得到关于权重的计算公式：

∂O∂wij=∂O∂aj∂aj∂wij=δjbi

至此完成了 backwark pass 的过程，注意由于计算比较复杂，有必要进行梯度验证。对函数 O 关于参数 wij 进行数值求导即可，求导之后与与上边的公式验证差异，小于给定的阈值即认为我们的运算是正确的。