导数与积分入门

感谢我的朋友清影。
//话说我一篇FFT的文章好像吸了不少粉丝QAQ
//这篇文章因为是总结+自己的理解，所以应该有很多错误
//不过话说这本来就算是我的个人空间又不是去写教程的QAQ

基础知识引入：
引入斜率的概念：
我想先说一下广义的斜率：

斜率是某一段的倾斜程度，我们可以认为，陡峭的上坡路的斜率要大于平缓的上坡路。斜率可以为负数，负的斜率自然是下坡路。
定义一段函数的斜率的公式：

d=ΔyΔx

Δ 为 在这段中的增量。
然而一段函数并不总是一条直线，所以：
把斜率推广到 点：
某个点的斜率公式：

d=ΔyΔx

Δ 为 极小增量。
你可以认为：

∀ϵ∈R,ϵ>Δ

如果我们想知道曲线A上的某一点C的斜率，也就是该点的 倾斜程度，那么我们考虑让一个点B**无限**接近于点C，BC直线的斜率也就是点C的斜率。(为了理解无限这个词，我们下面会介绍极限概念。)
此时，C的斜率和曲线A在C处的切线斜率相等。
斜率反映了 变化程度。
比如说吧我们买股票，然后我们在曲线趋近平缓的时候买了许多，显然是不赚的，我们如果在这个股票隐隐有飞速上涨的 趋势的时候购买，显然是划算的。
嗯……所以有人说买涨不买跌嘛……
所以斜率这个东西还是挺有用的。

然而为了引入导数我们不仅要介绍斜率，还要介绍极限的概念。
定义极限：

limx−>a f(x)=b

这个式子表示的是 当x无限趋近于a时， f(x)就无限趋近于b。
我们拿一个简单的例子来说：

lim每天刷100道bzojf(刷题量)=累死

嗯……找到感觉了吧……？
拿几道例题来说话吧。
Prog1.

limx−>1(1−x)

这个就是说，x无限趋近于1时，1 - x无限趋近于多少呢？
我们其实可以带入x = 1，这个显然是0嘛。
Prog2.

limx−>1(x−3)(x−1)(x−1)

嗯……这个好像不能带入了……
但是我们仔细考虑以下，x**无限趋近**于1，并不代表x等于1，也就意味着：这个式子可以化简为

limx−>1(x−3)

无论接近到什么程度，都不是相等的。
而接近的那个 目标值，即f(x)的值，就是 极值。
然而：
可以从两个方向接近，可以从右到左，也可以从左到右。

limx−>01x

Prog3.
这个式子……
如果我们 从右到左，那么写作：

limx−>0+1x

它接近的值是正无穷。
如果我们 从左到右，那么写作：

limx−>0−1x

它接近的值是负无穷。
也就是说，从两个方向接近得到的结果不同。
这种情况是 没有极限的。
即

limx−>01x

是 没有极限的。
Prog4.
那么 limx−>01x2 的极限存不存在呢?
答案是存在的，因为从两边逼近，都是正无穷大。
我们发现极限有三种模式：
1. limx−>af(x) 极限存在，且等于 f(a) .(Prog1)
2. limx−>af(x) 极限不存在。(Prog3)
3. limx−>af(x) 极限存在，但不等于 f(a) .(Prog4)

我们先来找函数f(x)上任意一点A的斜率，那么我们找到了和A(a,f(a))点无限逼近的点B(a + h,f(a + h))，则有AB的斜率：

斜率AB=f(a+h)−f(a)h

嗯……我们仔细想想点A的斜率等于什么？

limh−>0f(a+h)−f(a)h

没错这就是点A的斜率公式……
那么这个算式 limh−>0f(a+h)−f(a)h ，就是 f(x)在点x=a的导数。
然而A是任意一点。
所以，f(x)整个函数的求导公式为：

limh−>0f(x+h)−f(x)h

我们拿个栗子来说一下：
我们要计算y = x在点(1,1)的斜率。

limh−>0f(1+h)−f(1)h=1

嗯……可以在最后约掉h，因为h不会等于0。
这样我们就学会导数了，它能够求任意一个点的斜率。
我们可以考虑二次函数 y=x2 的求导后的样子：
-> (x+h)2−x2h - > 2xh+h2h - > 2x
毕竟h趋近于0，那么我们最终的答案也趋近于2x。
等等，也就是说，任意一点横坐标为x的斜率都是2x……？
那么我们就知道了一件事情：
对于x = 0这个点，斜率为0，即它是一个 极值。
即它是 水平的。
我们只要知道极值左右两端的斜率都是怎样的，就能大概明白这个图形的样子了。
我们可以大概绘制出图形的形状，而这就是导数的应用.
f(x)的导数通常写作： f′(x) ( 拉格朗日表示法)
很方便，但我们并不知道它关于什么求导，但对于以 x为唯一 变量的函数，我们这个就是唯一确定的。
否则，我们定义u = x + 1，那么f(x)关于u的导数再记作 f′(x) 就会出问题了。
有莱布尼兹表示法：
对f(x)关于x求导：

dydx    df(x)dx   ddxf(x)

这些都读作对f(x)关于x求导，其中d是微小增量。
我们可以看出， ddx和y是相乘关系。
什么？你说 ddx 是什么？它是一个求导的整体，代表”求导命令”(微分算子).
dx<=>limΔx→0 ，它是一个整体。
所以千万不要把上面的d和下面的d约掉。
所以我们求二阶导的时候，按照拉格朗日的表示方法， 我们需要加两个撇，然而按照莱布尼兹的表示法：

(ddx)(ddx)y=d2ydx2

再说一遍……dx为一个整体。
常用导数公式：
1. f(x)=C,f′(x)=0
2. f(x)=kx,f′(x)=k
3. f(x)=xn,f′(x)=nxn−1
4. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)
5. (f(x)∗g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
关于证明，前两个可以用定义显然地证明，第三个，由二项式定理可以轻松证明。
证明4.

左边=limh−>0f(x+h)+g(x+h)−f(x)−g(x)h

右边=limh−>0f(x+h)−f(x)h+limh−>0g(x+h)−g(x)h

提取右边的极限，显然左右两边相等。
证明5.

(f(x)g(x))′=limh−>0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h

->

limh−>0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x+h)h

->

limh−>0[g(x+h)(f(x+h)−f(x))h+f(x)(g(x+h)−g(x))h]

由 limh−>0g(x+h)=g(x)
所以可以推出 (f(x)∗g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
基本运算只需掌握这些东西……
让我们进入积分的学习吧。

积分：积分是导数的逆运算。
每次求导就相当于使得次数界为n的多项式变成n - 1.
而积分可以使得次数界为n - 1的变成n。
可以暂且认为，导数求出的是斜率，而积分求出的是面积。

我们先讲积分的表示方法。
求函数f(x)关于x的积分，可以表示为：

∫f(x)dx

读作 求f(x)关于x的积分。
其中f(x)和dx是乘法关系。
求函数f(x) 关于y的积分，可以表示为：

∫f(x)dy

也就是对d之后的数去求积分。
同样的，如果求f(x)关于x的积分，我们可以直接说求f(x)的积分，然而如果求关于另一个变量v的积分，那么我们就要强调是关于v的积分。

积分的计算方法
我们之前说过，积分是导数的逆运算，所以我们求f(x)关于x的积分是什么，就相当于询问：
关于x求导得到f(x)的函数是什么
那么我们来解决一道题吧：

∫x2dx

关于什么求导之后等于x ^ 2呢？

p(x)=x3−>p′(x)=3x2

差一点。

p(x)=13x3−>p′(x)=x2

所以 ∫x2dx=13x3
等等，有一些地方出了问题：

p(x)=13x3+C(C为常数)求导后都为p′(x)=x2

我们发现，对于这个积分的所有答案，都是：

∫x2dx=13x3+C(C是积分常数)

含有积分常数的积分叫做不定积分。

引入概念：
原函数：对f(x)求关于x的不定积分最后得到的函数叫做原函数。
通常可以写成： ∫f(x)dx 或者 F(x) ，然而原函数有时表示的是全体函数，有时表示特定的某一个函数。(具体情况具体分析)
(一般不加C)

我们现在来说一下积分的意义是什么。
因为前面我们只知道积分的计算方法，还没有说具体含义。
我们考虑对f(x)求导之后，就能得到f’(x)，即f(x)的变化情况。
这种变化情况只有一个。
然而我们如果对f’(x)求积分，这也就意味着，求一个：
变化情况为f’(x)的函数都长什么样
即求一个变化集合。
我们把它考虑成一个图.
f(x)的导数就相当于一个点S，从很多点f(x) + C都能通过求导回到f’(x)，所以从f’(x)出发能得到的所有的函数也不仅仅只有f(x)一个。
积分就是通过求导之后能到达S的函数集合
求导就是求出这个函数能到达哪里

定积分：定积分是有区间范围的积分，写作：

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

我们发现一个事情，就是当我们代入原函数进行求解之后，常量C会被消掉。
定积分的结果不是一个函数，而是一个 常数。
我们在讲它的意义之前，首先要明白：
f(x)是x对应的y轴的坐标，dx表示x轴的最小增量。
f(x) * dx?

没错就是这一个红色的矩形面积。
所以把这些红色的矩形面积加起来就得到了这样a - > b的面积。
这样真的是对的吗？
一堆矩形按说不应该能拼成一个曲线面积。
但是当矩形的宽无限小的时候，我们就可以认为这个矩形面积 无限趋近于曲线的面积。
//曲线是没有面积的，我的意思是那一段的面积

我们介绍一种算面积的方法：
也就是没有微积分之前的计算方法。
设我们要计算的区间长度为len

limn−>+∞∑k=0n−1lennf(xk)

我们想计算 f(x)=x2 在x = 0…1之间的面积，那么我们就可以应用这个公式。

然而在这之前我们引入一个公式：

∑k=1n=n(n+1)(2n+1)/6

证明：
利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
.
3³−2³=3∗(2²)+3∗2+1
2³−1³=3∗(1²)+3∗1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(1+2+3+…+n)+n,
由于1+2+3+…+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1²+2²+3²+.+n²=n(n+1)(2n+1)/6

limn−>+∞∑k=0n−1lennf(xk)

S=limn−>+∞∑k=0n−11n(kn)2=(1n)3limn−>+∞∑k=0n−1k2

S=limn−>+∞(1n)3(n−1)n(2n−1)6

S=16limn−>+∞n−1n∗2n−1n

S=16limn−>+∞(1−1n)∗(2−1n)=13

//太麻烦了……累死我了……

我们还是来讲一些比较资磁的东西吧。
我们尝试另一种计算面积的方式。
首先把区间分成n等分，这里我们只要让x的增量无限小就行了。

S=limΔx−>0∑k=0n−1Δxf(xk)

我们想到了之前的原函数F(x)，它对x进行求导之后会得到f(x).
则有 f(x)=limh−>0F(x+h)−F(x)h
我们代入一下。

S=limΔx−>0∑k=0n−1F(xk+1)−F(xk)

全都消掉了，最后剩下什么呢？
S=F(xn)−F(x0)=F(b)−F(a)
这不就是 定积分的表达方式吗？
所以我们如果要算0~x的面积，我们只需要计算出：

∫x0f(x)dx

然而，变量名重了，所以我们可以：

∫x0f(t)dt

这样就非常资磁啦.

微积分基本定理：

f(x)=ddx∫x0f(t)dt

这就是微积分基本定理的内容。
证明的话：
设一微小增量dx，则增加的面积相等。

dS(x)=f(x)dx

而又有：

S(x)=∫x0f(t)dt

d∫x0f(t)dt=f(x)dx

ddx∫x0f(t)dt=f(x)

证毕。
//嗯据说这好像是个伪证？

我们现在已经知道了积分能算面积，现在让我们来算算y = x这条直线在[-3,-1]之间的面积吧。

∫−1−3xdx=F(−1)−F(−3)

F(x)′=f(x)=x

F(x)=12x2

∫−1−3xdx=12−92=−4

(￣ε(#￣)☆╰╮(￣▽￣///)
显然不太对啊……
面积怎么可能是负的？
显然我们发现一个事情：它的纵坐标是负的，所以我们此时要把纵坐标反过来，即g(x) = -f(x)，然后对g(x)求积分。

严格来讲，其实导数并不是算斜率，积分也并不是算面积的。
实际上导数属于细化，而积分属于聚集。
把直线细化，得到斜率。
把面积细化，得到直线。
把斜率聚集，得到直线。
把直线聚集，得到面积。
嗯……也就是导数是降了一个维度，而积分是升了一个纬度。

习题：
推导圆锥体积公式。
把圆锥的顶点顶在原点，中心轴与x轴重合。
设圆锥的高为h，底面半径为r，则对于横坐标为x(x < h)的那一个截面，我们的半径为x * r / h.

V=∫h0f(x)dx

我们发现此时的dx表示”厚度”，那么只要f(x)是面积即可。

f(x)=π(xrh)2

F(x)′=π(rh)2x2

F(x)=π(rh)213x3

V=∫h0f(x)dx=F(h)−F(0)=F(h)=13πr2h

同样的，我们可以计算球体的体积公式。
于是就有以下的题目。

//凡人们，你们不懂什么叫数学。——欧几里德
嗯这题我也不会做，据说最后能推出一个通项(这是显然的)

然后这就是入门了……

参考资料：
<<漫画:七天搞定微积分>>//你不得不承认这是个好书。
<<网上的各种ppt>>

感谢清影的无私帮助。