关于MATLAB FFT频谱泄露和加窗

我们分析的信号，如果只含整数次谐波的话，用FFT分析信号的频谱和相位是非常准确的，如果信号含有确定的间谐波，比如信号含有60HZ和65HZ的频率，那我们也可以准确的分析出信号的频谱和相位，我们只要用矩形窗截取10个周波的信号就可以分析出50HZ/10=5HZ以及5HZ的整数倍的信号的频谱和相位了，分析的相位和频谱都是非常准确的！如果我们需要分析的信号含有不确定的间谐波，比如我们根本不知道信号含有什么样的间谐波，那么此时用FFT分析，必然会有频谱泄露！那么怎么样才能减少频谱泄露呢（注意：这种情况下我们只能减少频谱泄露，而基本上不可能完全消除频谱泄露）？

我们可以有两种方法：方法一：增加采样的长度，方法二：加窗函数。

  增加采样长度可以分析出更多频率的信号，可以减少频谱泄露，不过增加采样长度必然会对数据处理的实时性造成影响！ 理想的窗函数是主瓣很窄，旁瓣衰减很快，矩形窗的主瓣很窄，但是旁瓣衰减却很慢，hanning窗、hamming窗、blackman窗等的旁瓣衰减有了明显的改进，但是主瓣却宽了很多，大概是矩形窗主瓣的二倍，blackman窗的主瓣还要宽，这就造成了信号频谱的频率识别率很低！ 什么叫频率识别率呢？简单举个例子解释一下：比如说我取十个周波（请注意：这里我用十个周波举例子是为了便于计算，实际中我们是不取10个周波的，因为基2的FFT运算要求取样点数是2的整数倍整数次幂，我们实际操作是取4、8或者16个周波等2的整数次幂），我用一个含有25HZ间谐波的信号做分析，那么我加hamming窗和hanning窗以后，在20HZ和30HZ处的频率点上都将有幅值，而且有趣的是：我们将20HZ、25HZ和30HZ频率点处的幅值相加以后基本上接近与信号在25HZ处的真实幅值（这一点我还没搞清楚，是否隐含什么关系），并且在频谱上看到的25HZ处的幅值要小于实际信号在25HZ处的幅值，所以我们要对加窗后的FFT变换的幅值要乘以一个恢复系数，不同窗的恢复系数也是不同，矩形窗的是1，hanning窗的是2，hamming窗的好像是1.84左右吧（不好意思，记不清了，大家可以在网上查到）！这样我们在分析25HZ频率点处的幅值时，对于20HZ和30HZ频率点处的幅值都是不可信的，所以我们至少要求20HZ和30HZ附近是不能有信号的，这样频率分辨率相对来说是不是就降低了？因为20HZ和30HZ是不能用的！（哈哈，语言组织能力差了点，有什么不严谨的地方大家包含啊）！

大家可想而知，如果我的原始信号在20HZ和30HZ处本来就都有幅值，那么20HZ和30HZ处的频率也将反过来影响25HZ处的信号，这样测出来的幅值误差将会很大，所以我们在加窗时由一个要求：那就是谐波和间谐波，以及间谐波与间谐波之间要相隔较远，我觉得，至少要相隔2条谱线以上我们才能获得较高精度的幅值！blackman窗要求相隔的谱线还要多！这是因为blackman窗的主瓣还要宽！

所以对于加窗函数我们要权衡利弊，根据具体需要来选择！

MATLAB中FFT结果的物理意义

  采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
    由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
    假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。