【欧拉函数】集合

给一个正整数，其中，求使得为质数的的个数，。

其实挺难看出这题要用欧拉定理做的。

欧拉函数φ：φ(n)表示1 … n中与n互质的整数个数。即：

for(int i=1;i<=n;++i)

    if(gcd(i,n)==1)

        s++;

（先考虑x<y的，最后*2）所以说，如果这道题目改成：求使得=1的的个数，那么就可以枚举y，然后s+=φ(y)来得到结果了。当然也可以用前缀和来一步求。

那么怎么把原题和欧拉函数联系起来？

可以发现，若gcd(x,y)=1，那么gcd(x*质数,y*质数)=质数。反过来若gcd(x,y)=质数，那么x,y都能被该质数整除。所以不如枚举[gcd(x,y)=质数]的这个质数，此时gcd(x/质数,y/质数)=1，就又变成欧拉函数了，范围从原来y∈[1,n]变成y/质数∈[1,n/质数]。可以用一个前缀和f[i]一步求。

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分析：对于本题，因为是使得为质数，所以必然要枚举小于等于的质数，那么对于每一个质数，只

     需要求在区间中，满足有序对互质的对数。

 

     也就是说，现在问题转化为：在区间中，存在多少个有序对使得互质，这个问题就简单啦，因为

     是有序对，不妨设，那么我们如果枚举每一个，小于有多少个与互素，这正是欧拉函数。所以

     我们可以递推法求欧拉函数，将得到的答案乘以2即可，但是这里乘以2后还有漏计算了的，那么有哪些呢？

     是且为素数的情况，再加上就行了。

#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
#include <bitset>  
using namespace std; 
typedef long long LL; 
const int N=10000010; 
bitset<N> prime; 
LL phi[N]; 
LL f[N]; 
int p[N]; 
int k; 
void isprime() {
    k=0; 
    prime.set(); 
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(prime[i]) {
            p[k++]=i; 
            for(int j=i+i;j<N;j+=i) 
                prime[j]=false; 
        }  
    }  
}  
void Oula() {
    for(int i=1;i<N;i++) phi[i]=i; 
    for(int i=2;i<N;i+=2)phi[i] >>= 1; 
    for(int i=3;i<N;i+=2) {
        if(phi[i]==i) {
            for(int j=i;j<N;j+=i) 
                phi[j]=phi[j]-phi[j]/i; 
        }  
    }  
    f[1]=0; 
    for(int i=2;i<N;i++) 
        f[i]=f[i-1]+(phi[i]<<1); //前i个数的欧拉值前缀和 
}  
LL Solve(int n) {
    LL ans=0; 
    for(int i=0;i<k&&p[i]<=n;i++)//枚举质数p[i]
        ans+=f[n/p[i]]+1; //+1是把x=y=p[i]时算上 
    return ans; 
}  
int main() {
    Oula(); 
    isprime(); 
    int n; 
    scanf("%d",&n); 
    printf("%I64d\n",Solve(n)); 
    return 0; 
}