关于三类二分法的探索

原来的做法

while(left<=right){
if(x>middle)
left = middle+1;
if(x<middle)
right = middle - 1
if(x == middle)
return middle;
}
else return -1

朴素的二分可以保证每回循环索引前进或者后退，保证不会死循环，所以可以用循环条件left<=right

改进：不return middle，每次都夹到只有一个元素

while(left<right-1 )
middle = (left+right)/2;
if(a[middle]>=x)
right = middle; //维护的性质a[right]>=x
else 
left = middle;//维护的性质a[left]<x

这样的结果：能够找到对于x，索引最小的位置；
但是因为以上过程没有等号，我们最后还需要一个等号判断找到的元素是否相等；

if（a[left]==x) return left;
else if(a[right] == x) return right;
else return -1;

思考：上面的循环条件能不能改成这样？

left<right-1
left<right
left<=right
left<=right-1

left<=right 肯定不行
因为对于左边的情况，我们没有让索引前进，所以如果遇到``
x==a[midle]
left=middle;
如果right=middle+1；`
这个时候死循环就出现了；
以后的middle 都等于left

死循环的条件
考察middle的产生过程
注意mid = (left + right) /2
和mid = left +（right-left）
其实是等价的（考虑left，right分别为奇数偶数的过程）

middle = (left+right)/2
死循环代表middle = left或者right 的过程一直持续下去
这个时候，只可能是left和right相邻，由于整数除法向下取整,所以middle永远等于left，导致死循环

while(left < right -1)看成一种模板

考察这种情况下循环结束的条件
因为left<right-1因此middle一直不会和a[left]或者a[right]相等

当最后一次进入循环，left = right -2然后left或者right会移动到middle，然后left与right相邻，这个时候会跳出循环 也就是说：跳出循环的条件是left和right相邻

一般性的方法

我们在维持while(left < right -1)的前提下，考察a[left]和a[right]的性质

对于朴素的二分法
朴素的二分法其实是第一类二分法（找到满足x的最小下标）和第二类二分法（找到满足x的最大下标）的特殊情况

考察第一类二分法
第一类二分法需要找到满足x的最小下标
我们可以通过维护a[left] 和a[right]的性质来实现
通过使得a[right]>=x a[left]<x
(为什么这样？因为a[right]>=x 我们要找最小的时候，要往左找，找到最左边的a[i])
当跳出循环的时候a[left]<x只有a[right]可能满足x作为最小下标
所以我们判断
if(a[right] == x ) return right;
else return -1
完整的代码实现

 while(left < right -1){
    middle = ( right + left )/2;
    if( a[middle]>= x ) right = middle;   
    else  left = middle;
    }  
    if(a[right] == x) return right;
    else return -1;

考察第二类二分法
由于第二类二分法需要找到最大的满足的下标
所以需要a[left]<=x a[right]>x


while(left < right -1){
middle = (left+right)/2;
if(a[middle] <= x) left = middle;
else right = middle;
}
if(a[left] == x) return left;
else return -1;


对于朴素的二分法，选择以上一种就可以了