《C算法》笔记11：BST再平衡

以下内容来自R.Sedgewick 《c算法》13章第一节

二叉搜索树（BST）在最差情况下（输入有序）会退化成链表，造成插入时间线性。为了使插入时间回归到 O(log(N)) ，需要让BST的左右节点平衡。

平衡一棵二叉搜索树有三种常见方法：随机化（Randomize），分摊（Amortize），以及最优（Optimize）。现代由Sedgewick提出的红黑树以及之前的AVL都采用了最优化策略。而这一小节主要介绍其中的周期性分摊再平衡策略。

在所有平衡BST的策略中，最重要和基本的技术有如下几条：首先是左旋和右旋，其次是在节点中加入计数域。最后，适当对BST进行划分（partition）是分摊技术的体现。

左右旋

typedef struct STnode* STlink;
struct STnode
{
    Item item;
    STlink l, r;
    int n;
};

STlink rotR(STlink h);
STlink rotL(STlink h);

n代表本颗树中包括自身在内非空节点的个数。显然，x->n=x->l->n+x->r->n+1
左右旋的实现如下：

inline void updateN(STlink h)
{
    if(h == z)
        return;
    h->n = h->l->n + h->r->n + 1;
}

STlink rotR(STlink h)
{
    STlink x = h->l; h->l = x->r; x->r = h;
    updateN(h);
    updateN(x);
    return x;
}

STlink rotL(STlink h)
{
    STlink x = h->r; h->r = x->l; x->l = h; 
    updateN(h);
    updateN(x);
    return x;
}

借用网络图：

左旋针对a节点，将b、c提高一个level，a、T0降低一个level，T1不变，插入a的右节点(h->r=x->l)。
右旋类似。

通过左右旋，可以在插入BST的时候动态进行调整。例如，假如插入的节点往左边遍历，那么结束遍历之后可以做右旋操作，将左子树提升上来。

所有BST优化的策略都是基于左右旋的。

划分

划分来源于选择（select-kth）。在一棵BST中加入n计数域后，可以很方便的计算出第k项。

STlink select(STlink h, int k)
{
    int t = h->l->n;
    if(k < t)
        return select(h->l, k);
    else if(k > t)
        return select(h->r, k - t - 1);
    return h;
}

这里k从0开始计数。k==t就代表第k项恰好是根节点，k

STlink partR(STlink h, int k)
{
    int t = h->l->n;
    if(k < t)
    {
        h->l = partR(h->l, k);
        h = rotR(h);
    }
    else if(k > t)
    {
        h->r = partR(h->r, k - t - 1);
        h = rotL(h);
    }
    return h;
}

在这里，旋转是递归的！这里体现出了递归的强大，因为所访问的每一颗子树都能通过相同的策略平衡节点。

显而易见，在插入时平衡一棵BST，所需做的工作可以是周期性地对BST根据n/2项进行划分，使得左右子树n相等。

STlink _balance(STlink h)
{
    if(h->n < 2)
        return h;
    h = partR(h, h->n / 2);
    h->l = _balance(h->l);
    h->r = _balance(h->r);
    return h;
}

从上面可以归纳出，分摊的定义是：在某一时刻做额外的准备工作（划分平衡BST），以避免在将来做更多的工作（线性插入）。分摊能对所有运算的上限提供保证。在线段树的成段更新中，就有延迟更新这样的分摊技术。

需要指出的是，再平衡的周期既不能太长，太长会影响插入的效率，造成一个长链表；也不能太短，平衡是一个线性运算，最差情况下左（右）子树的每个节点都会访问一次。

实验

在N=100000情形下对BST进行实验，输入为最坏情况，也就是有序数组，同时生成M=100000的随机查询序列。

在插入序列时，当项数n到达2^x幂的倍数时进行再平衡，取不同的x值，结果如下：

当d=1023时，所得时间为最短

作为对照组，生成一组随机数列进行输入，对比两组的查找命中次数。

再平衡组：ave=15.689720 dx=1.489398

对照组：ave=14.970200 dx=1.417834

可见在查询性能上，再平衡可以做到接近最优解。

结论

周期性平衡二叉树的优点和缺点一样鲜明。它的优点一眼就能看出：简洁、明了、方便程序员少写两百行代码。但它完全不能保证二叉树插入不会退化到线性时间。而另一方面，当树增长到非常庞大之后，再平衡就变成一件很麻烦的事情，因为每次都需要线性时间。为了解决这些问题，40年前的计算机专家们发明了各种各样的附加域，今天我们的计算机大厦就是建立在这些数据结构和算法的地基上面。