统计在从1到n的正整数中1出现的次数

统计在从1到n的正整数中1出现的次数

1、最直观的想法，求1到n中每个整数中1出现的次数，然后相加即可。而求每个十进制整数中1出现的次数，我们先判断这个数的个位数是否是1，如果这个数大于10，除以10之后再判断个位数是否为1，循环直至求出该整数包含1的个数。

代码如下：

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
#include <math.h>
using namespace std;

//某个整数中1出现的次数
int NumberOf1(unsigned int n)
{
	int number = 0;	
	while(n)
	{	
		if(n % 10 == 1)		
			number ++;	
		n = n / 10;	
	}

	return number;
}

//求1到n中所有整数中1出现的总次数
int NumberOf1Between1AndN_Solution1(unsigned int n)
{
	int number = 0;	
	for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)		
		number += NumberOf1(i);	

	return number;
}

void main()
{
	cout<<NumberOf1Between1AndN_Solution1(21345)<<endl; //18821
}

2、上面的思路有一个非常明显的缺点就是每个数字都要计算1在该数字中出现的次数，因此时间复杂度是O(n)。当输入的n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率很低。我们试着找出一些规律，来避免不必要的计算。

        我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段即1-1345和1346-21345（分段好处在于便于进行递归运算，因为1345位21345去掉最高位的结果）。

        先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10^4）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次（2*10^3，其中2的第一位的数值，10^3是因为数字的后四位数字其中一位为1，其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择，由排列组合可以得出总次数是2*10^3）。

        至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1345和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

        分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10^4（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10^4次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

基于前面的分析，我们可以写出以下的代码。在参考代码中，为了编程方便，我把数字转换成字符串了。

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
#include <math.h>
using namespace std;

//1到n字符串中包含1的总个数
int CharNumberOf1(const char *strN)
{
	int numFirstDigit=0,numOtherDigit=0,numRecursive=0;
	int len=strlen(strN);
	int firstDigit=*strN-'0'; 
	if(len==1&&firstDigit==0)
		return 0;
	if(len==1&&firstDigit>0)
		return 1;
	//首位为1的个数
	if(firstDigit==1)
		numFirstDigit=atoi(strN+1)+1;
	else
		numFirstDigit=pow(10,len-1);
	//其他位为1的个数
	numOtherDigit=firstDigit*(len-1)*pow(10,len-2);
	//递归的位为1的个数
	numRecursive=CharNumberOf1(strN+1);

	return numFirstDigit+numOtherDigit+numRecursive;
}

//1到n整数中包含1的总个数
int NumberOf1(int n)
{
	char strN[50];
	sprintf(strN,"%d",n);

	return CharNumberOf1(strN);
}

void main()
{
	cout<<NumberOf1(21345)<<endl; //18821
}