cvOtsu2D--最大类间方差法（二维Otsu算法）

Otsu算法(大律法或最大类间方差法)

一、Otsu最大类间方差法原理
利用阈值将原图像分成前景，背景两个图象。
前景：用n1,csum,m1来表示在当前阈值下的前景的点数，质量矩，平均灰度
后景：用n2, sum-csum,m2来表示在当前阈值下的背景的点数，质量矩，平均灰度
当取最佳阈值时，背景应该与前景差别最大，关键在于如何选择衡量差别的标准，而在otsu算法中这个衡量差别的标准就是最大类间方差（英文简称otsu，这也就是这个算法名字的来源），在本程序中类间方差用sb表示，最大类间方差用fmax。

关于最大类间方差法（otsu）的性能:
类间方差法对噪音和目标大小十分敏感，它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。
当目标与背景的大小比例悬殊时，类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，此时效果不好，但是类间方差法是用时最少的。

最大类间方差法（otsu）的公式推导：
记t为前景与背景的分割阈值，前景点数占图像比例为w0， 平均灰度为u0；背景点数占图像比例为w1，平均灰度为u1。
则图像的总平均灰度为：u=w0*u0+w1*u1。
前景和背景图象的方差：g=w0*(u0-u)*(u0-u)+w1*(u1-u)*(u1-u)=w0*w1*(u0-u1)*(u0-u1),此公式为方差公式。
可参照概率论课本上面的g的公式也就是下面程序中的sb的表达式。当方差g最大时，可以认为此时前景和背景差异最大，此时的灰度t是最佳阈值sb = w1*w2*(u1-u0)*(u0-u1)。

二、Otsu算法步骤如下：

设图象包含L个灰度级(0,1…,L-1)，灰度值为i的的象素点数为Ni ，图象总的象素点数为N=N0+N1+...+N(L-1)。灰度值为i的点的概率为：P(i) = N(i)/N.

门限t将整幅图象分为暗区c1和亮区c2两类，则类间方差σ是t的函数：σ=a1*a2(u1-u2)^2 (2)

式中，aj 为类cj的面积与图象总面积之比，a1=sum(P(i)) i->t, a2 =1-a1;

uj为类cj的均值，u1 =sum(i*P(i))/a1 0->t, u2 = sum(i*P(i))/a2, t+1->L-1,该法选择最佳门限t^使类间方差最大，即：令Δu=u1-u2，σb = max{a1(t)*a2(t)Δu^2}

/***************************************************************************** 
* 函数名称： cvOtsu2D() 
* 函数参数:  CvMat* pGrayMat:灰度图形相对应的矩阵 
* 返回值: int nThreshold
* 函数说明:实现灰度图的二值化分割——最大类间方差法（二维Otsu算法） 
* 备注：在构建二维直方图的时候，采用灰度点的3*3邻域均值 
******************************************************************************/  
int cvOtsu2D(CvMat *pGrayMat)  
{  
double dHistogram[256][256];        //建立二维灰度直方图  
double dTrMatrix = 0.0; //离散矩阵的迹
int height = pGrayMat->height;
int width = pGrayMat->width;
int N = height*width;               //总像素数
int i, j;  
for(i = 0; i < 256; i++)  
{  
for(j = 0; j < 256; j++)  
dHistogram[i][j] = 0.0;      //初始化变量  
}  
for(i = 0; i < height; i++)  
{  
for(j = 0; j < width; j++)  
{  
unsigned char nData1 = (unsigned char)cvGetReal2D(pGrayMat, i, j);//当前的灰度值  
unsigned char nData2 = 0;                                                                                                                                
int nData3 = 0;//注意9个值相加可能超过一个字节                                                                   
for(int m = i-1; m <= i+1; m++)  
{  
for(int n = j-1; n <= j+1; n++)  
{  
if((m >= 0) && (m < height) && (n >= 0) && (n < width))  
nData3 += (unsigned char)cvGetReal2D(pGrayMat, m, n); //当前的灰度值                                                      }  
}  
nData2 = (unsigned char)(nData3 / 9);    //对于越界的索引值进行补零,邻域均值  
dHistogram[nData1][nData2]++;  
}  
}  
for(i = 0; i < 256; i++)  
for(j = 0; j < 256; j++)  
dHistogram[i][j] /= N;  //得到归一化的概率分布  
double Pai = 0.0;      //目标区均值矢量i分量  
double Paj = 0.0;      //目标区均值矢量j分量  
double Pbi = 0.0;      //背景区均值矢量i分量  
double Pbj = 0.0;      //背景区均值矢量j分量  
double Pti = 0.0;      //全局均值矢量i分量  
double Ptj = 0.0;      //全局均值矢量j分量  
double W0 = 0.0;       //目标区的联合概率密度  
double W1 = 0.0;       //背景区的联合概率密度  
double dData1 = 0.0;  
double dData2 = 0.0;  
double dData3 = 0.0;  
double dData4 = 0.0;   //中间变量  
int nThreshold_s = 0;  
int nThreshold_t = 0;  
double temp = 0.0;     //寻求最大值  
for(i = 0; i < 256; i++)  
{  
for(j = 0; j < 256; j++)  
{  
Pti += i*dHistogram[i][j];  
Ptj += j*dHistogram[i][j];  
}  
}  
for(i = 0; i < 256; i++)  
{  
for(j = 0; j < 256; j++)  
{  
W0 += dHistogram[i][j];  
dData1 += i*dHistogram[i][j];  
dData2 += j*dHistogram[i][j];  
W1 = 1-W0;  
dData3 = Pti-dData1;  
dData4 = Ptj-dData2;  
Pai = dData1 / W0;  
Paj = dData2 / W0;  
Pbi = dData3 / W1;  
Pbj = dData4 / W1;   // 得到两个均值向量，用4个分量表示  
dTrMatrix = ((W0 * Pti - dData1) * (W0 * Pti - dData1) + (W0 * Ptj - dData2) * (W0 * Ptj- dData2)) / (W0 * W1);  
if(dTrMatrix > temp)  
{  
temp = dTrMatrix;  
nThreshold_s = i;  
nThreshold_t = j;  
}  
}  
}
int nThreshold = (nThreshold_s + nThreshold_t) / 2;//返回阈值，有多种形式，可以单独某一个，也可是两者的均值 
return nThreshold; 
}