BestCoder Round #80 Sequence(HDU5667) 费马小丁里和矩阵乘法的应用

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问题描述

\ \ \ \
    Lcomyn 是个很厉害的选手,除了喜欢写17kb+的代码题,偶尔还会写数学题.他找到了一个数列:
f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.f​n​​=​⎩​⎨​⎧​​​1,​a​b​​,​a​b​​f​n−1​c​​f​n−2​​,​​​n=1​n=2​otherwise​​\ \ \ \    他给了你几个数:$n$,$a$,$b$,$c$,你需要告诉他f_nf​n​​模$p$后的数值.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.

\ \ \ \    每组数据一行,一行五个正整数,按顺序为$n$,$a$,$b$,$c$,$p$.

\ \ \ \ 1\le T \le 10,1\le n\le 10^{18}    1≤T≤10,1≤n≤10​18​​,1\le a,b,c\le 10^91≤a,b,c≤10​9​​,p是质数且p\le 10^9+7p≤10​9​​+7.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据输出一行一个数,输出f_nf​n​​对$p$取模后的数值.

输入样例

1
5 3 3 3 233

输出样例

190

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题解：对等式两边同时取loga，则构造了个形函数T；T(i)=b+c*T(i-1)+T(i-2）。已知T（0）=0，T（1）=b；因为n<10^18。所以我不能遍历取值，很自然的就想到了矩阵二分幂。因为它的复杂度为（t^3)logN(t为矩阵大小，N为乘的次数），又因为p为质数。我们可以用费马小定理对指数模（P-1）。我构造的矩阵为3*3的，所以其复杂度为27*logN+logP

关于费马小定理：(a^p)%p=a%p.（p为素数）

由这个我们可以推导出（a^(p-1))%p=1.也可以得到 ((y^a)/(x^b))%p=(（y^a）%p)*(x^(p-2))^b%p.这样我们就可以对分数取余了。

关于矩阵乘法：对于求一大小为N的矩阵的m次幂，我们可已先用c++重载他的*，然后利用二分幂的方法，可以将矩阵乘法优化。这次我构建的矩阵为tt[3][3]={1,0,0， 1,c,1,0,1,0}，m[3][1]={b,b,0}.由这个可以推出n==1时f（n）==1.n>=2时m[3][1]{b,T(n+1),T(n)}=tt^(n-1)*m[3][1]{b,b,0}.

AC代码：

#include <algorithm>
#include <string>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll  long long int
const int maxn=10;
ll A,B,C,P,P1,n; struct Mat {
    ll data[maxn][maxn];
    ll x,y; };
Mat operator * (Mat a,Mat b) {

    Mat c;
    memset(c.data,0,sizeof c.data); if(a.y==b.x) {
        c.x=a.x;
        c.y=b.y; for(ll k=0;k<a.y;k++) { for(ll i=0;i<a.x;i++) { if(a.data[i][k]==0) continue; for(ll j=0;j<b.y;j++) { if(b.data[k][j]==0) continue;
                    c.data[i][j]= (c.data[i][j]+(a.data[i][k]*b.data[k][j]))%(P-1); } } } } else c.x=c.y=0; return c; }
Mat operator ^ (Mat a,ll s) {
    Mat c;
    c.x=a.x;
    c.y=a.y; for(ll i=0;i<a.x;i++) { for(ll j=0;j<a.y;j++) {

            c.data[i][j]=(i==j) ; } } while(s!=0) { if(s&1)  c=c*a;
        a=a*a;
        s=s/2; } return c; }
ll pow(ll a,ll b) {
    ll ans=1; while(b!=0) { if(b&1) {
            ans*=a;
            ans%=P; }
        a*=a;
        a%=P;
        b/=2; } return ans; } int main() { int T;
    cin>>T;
    Mat t,m; while(T--) {
      scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C,&P); if(n==1) {
          printf("1\n"); continue; } else if(A%P==0) {
          printf("0\n"); continue; }
      ll ans;
      ll tt[3][3]={1,0,0,1,0,1,0,1,0};
      tt[1][1]=C;
      t.x=t.y=3; for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) t.data[i][j]=tt[i][j]; }
      m.data[0][0]=B; m.data[1][0]=B; m.data[2][0]=0;
      m.x=3,m.y=1;
      m=(t^(n-1))*m;
      ans=pow(A,m.data[2][0]%(P-1));
      printf("%lld\n",ans); } return 0; }