矩阵快速幂的应用(郭姐散步)
题目：
http://nucacm.openjudge.cn/practice/00001/
http://nucacm.openjudge.cn/practice/00013/(升级版)
题意:
GJ散步，最开始在坐标系的中心（0,0），他可以向上，向左，向右但是不能向下，给出n表示GJ走的步数，对于小数据(第一题)n <= 1000000，对于大数据(第二题)n <= 1e18，求公有多少种走的方法？
题解：
常见的一种矩阵快速幂的应用。
由分析可知，每一步的下一步可以有两种或者三种选择，有两种选择的步其下一步的选择数为2+3，有三种选择的步其下一步为2+2+3.
所以设an为2的个数，bn 为3的个数，ans即为2*an+3*bn
又有
所以
接下来就可以用矩阵快速幂来求解。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;
struct Matrix
{
LL m[N][N];
Matrix(){};
Matrix unit()
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
m[i][j]=i==j?1:0;
}
}
}
void print()
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
printf("%lld ",m[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
};
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
c.m[i][j]=0;
for(int k=0;k<N;k++)
{
c.m[i][j]=(c.m[i][j]+((a.m[i][k]%MOD)*(b.m[k][j]%MOD))%MOD)%MOD;
}
}
}
return c;
}
Matrix operator ^(Matrix a,LL k)
{
Matrix c;
c.unit();
while(k)
{
if(k&1) c=c*a;
k>>=1;
a=a*a;
}
return c;
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
Matrix a;
a.m[0][0]=1;
a.m[0][1]=2;
a.m[1][0]=1;
a.m[1][1]=1;
// a.print();
/* for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
printf("%lld ",a.m[i][j]);
}
printf("\n");
}*/
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
LL n;
scanf("%lld",&n);
//cin>>n;
if(n<=0) printf("0\n");
else if(n==1) printf("3\n");
else if(n==2) printf("7\n");
else
{
Matrix ans=a^(n-1);
//ans.print();
printf("%lld\n",((ans.m[0][1]*2%MOD)+(ans.m[1][1]*3%MOD))%MOD);
}
}
return 0;
}</span>
如果设Fn为总的方案数，可以求出递推式
（怎么出来的我也忘了QAQ），则也可以有
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;
struct Matrix
{
LL m[N][N];
Matrix(){};
Matrix unit()
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
m[i][j]=i==j?1:0;
}
}
}
void print()
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
printf("%lld ",m[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
};
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
c.m[i][j]=0;
for(int k=0;k<N;k++)
{
c.m[i][j]=(c.m[i][j]+((a.m[i][k]%MOD)*(b.m[k][j]%MOD))%MOD)%MOD;
}
}
}
return c;
}
Matrix operator ^(Matrix a,LL k)
{
Matrix c;
c.unit();
while(k)
{
if(k&1) c=c*a;
k>>=1;
a=a*a;
}
return c;
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
Matrix a;
a.m[0][0]=2;
a.m[0][1]=1;
a.m[1][0]=1;
a.m[1][1]=0;
// a.print();
/* for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
printf("%lld ",a.m[i][j]);
}
printf("\n");
}*/
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
LL n;
scanf("%lld",&n);
//cin>>n;
if(n<=0) printf("0\n");
else if(n==1) printf("3\n");
else if(n==2) printf("7\n");
else
{
Matrix ans=a^(n-2);
//ans.print();
printf("%lld\n",((ans.m[0][0]*7%MOD)+(ans.m[0][1]*3%MOD))%MOD);
}
}
return 0;
}</span>