POJ 3495 Bitwise XOR of Arithmetic Progression 数论

题目大意：给定 x,y,z ，求 x⊕(x+z)⊕(x+2z)⊕...⊕(x+kz) ，其中 y−z<x+kz≤y

困扰了我多年的心腹大患终于干掉了。。。

由于异或操作中每一位彼此独立，我们可以一位一位做
对于第 i 位，这一位的值为 (⌊x2i⌋+⌊x+z2i⌋+⌊x+2z2i⌋+...+⌊x+kz2i⌋) mod 2
问题转化成了求 ∑n−1i=0⌊ax+bc⌋

∑n−1i=0⌊ax+bc⌋
=n∗⌊bc⌋+n∗(n−1)2∗⌊ac⌋+∑n−1i=0⌊(a%c)x+(b%c)c⌋
然后观察后面那个 ∑n−1i=0⌊(a%c)x+(b%c)c⌋ ，我们把坐标系转一下

就变成了 ∑⌊(a%c)∗n+(b%c)c⌋−1i=0⌊cx+(an+b)%ca%c⌋
自行推导有益于身体健康，加油

观察式子发现 a 和 c 在辗转相除。。。于是就是 O(logn) 了
总时间复杂度 O(log2n)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long x,y,z;
long long Calculate(long long a,long long b,long long c,long long n)
{
    if(n==0) return 0;
    return (b/c)*n+(a/c)*n*(n-1)/2+Calculate(c,(a*n+b)%c,a%c,(a%c*n+b%c)/c);
}
int main()
{
    int i;
    while(cin>>x>>y>>z)
    {
        long long ans=0;
        for(i=0;i<32;i++)
            ans|=(Calculate(z,x,1ll<<i,(y-x)/z+1)&1ll)<<i;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}