∑(Fib(N)%Fib(k))(51nod 1399 Fib(N) mod Fib(K) V2)

题目连接

Fib(N)表示斐波那契数列的第N项（F(0) = 0, F(1) = 1），给出N和K，求
∑i=1N[Fib(i) mod Fib(K)]
由于结果太大，输出Mod 1000000007的结果。
Input
第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行2个数N, K(1 <= N, K <= 10^18)
Output
共T行：对应每一组数据的答案。
Input示例
2
5 5
13 5
Output示例
7
29

先引入 Fn 的负数概念：

F−n=(−1)n−1Fn,n∈Z(0)

按这个方法我们可以得到如下的值：

nFn-55-4−3-32-2−1-11001121324355

如此一来有

Fn=Fn−1+Fn−2,n∈Z

列出一些可能用到的公式：

∑i=1nFi=Fn+2−1∑i=1n(−1)iFi=(−1)nFn−1−1

Fn=FkFn−k+1+Fk−1Fn−k(1)

F2k−1+Fk−1Fk−F2k=(−1)k(2)

(Note:公式的证明和更多相关的公式可以查看另一篇文章:)

接下来分析 Fm%Fk,1≤m≤n,
设 m=ik+j
由(1)式可得:

Fm%Fk=Fk−1Fn−k=...=Fik−1Fj

如果 i%2=0 我们可以用(2)式直接替换，当 i%2=1 时，我们多推一步有:

Fm%Fk=Fi+1k−1Fj−k=(−1)i+12×(−1)k−j−1Fk−j

所以我们有:

Fm%Fk=Fik−1Fj=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(−1)i2kFj,(−1)i+12k+k−j−1Fk−j,d%2=0d%2=1(3)

到这里就可以解决1365 Fib(N) mod Fib(K)

下面解决 ∑(Fib(N)%Fib(k))

定义: d=nk,r=n%k,[q]方括号里面的q是真值表达式

对于 ∑ni=1(Fn%Fk) 的结果，我们把 n每k个数分成一段，最后r 个数是一段，我们分析每一段例如： ∑k−1j=1(Fik−1Fj%Fk),0≤i<d

由(3)式，我们有对 k 进行奇偶分类讨论会方便很多。
另外由(3)式可以知道 Fik%Fk=0 ,所以可以忽略所有k的倍数下标的数。
这么一来，如果 r=k−1 的话，可以直接让d加一， r 变为0.
注意要记录 Fm%Fk 负数的的个数，因为每一个负数都要加上 Fk .

1ok%2=0

i=0,1,2,3,...,d−1

对i的奇偶性进行判断

∑j=1k−1(Fik−1Fj)={∑k−1j=1Fj∑k−1j=1(−1)j−1Fj=Fk+1−1,=Fk−2+1+k−12Fk,i%2=0i%2=1(0≤i<d)

∑j=1rFdk−1Fj={∑rj=1Fj=Fr+2−1,∑rj=1Fj=Fk−2+(−1)r+1Fk−r−2+(r2)Fk,d%2=0d%2=1

对所有偶数 i ，奇数 i 和最后 r 个求和就有:

ANS=+d+12(Fk+1−1)+d2(Fk−2+1+k−12Fk){Fr+2−1,Fk−2+(−1)r+1Fk−r−2+r2Fk,d%2=0d%2=1

2ok%2=1

i=0,1,2,3,...,d−1

同样的，有：

∑j=1k−1(Fik−1Fj)=⎧⎩⎨∑k−1j=1(−1)i2Fj∑k−1j=1(−1)i+12+j−1Fj=(−1)i2(Fk+1−1),=(−1)i−12(Fk−2−1),i%2=0i%2=1(0≤i<d)

∑j=1rFdk−1Fj=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∑rj=1(−1)d2Fj=(−1)d2(Fr+1−1)+[d%4==2](r∗Fk),∑rj=1(−1)d+12+j−1Fj=(−1)d−12(Fk−2+(−1)r+1Fk−r−2)+r2Fk+[r%2==1andd%4==3]Fk,d%2=0d%2=1

求和后有：

ANS=++[d%4==1ord%4==2](Fk+1−1)+d+14(k−1)Fk[d%4==2ord%4==3](Fk−2−1)+d2k−12Fk⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(−1)d2(Fr+2−1)+[d%4==2](rFk),(−1)d−12(Fk−2+(−1)r+1Fk−r−2)+r2Fk+[r%2==1andd%4==3]Fk,d%2=0d%2=1

算 Fk 用快速幂就可以，所有计算可以在mod=1e9+7下进行。问题完全解决了。

code:

#include<stdio.h>
#include<string.h>

#define LL          long long
#define REP(i,a,b)  for(int i=a;i<b;++i)

const int N = 2;
const int mod = 1000000007;

struct  M
{
    LL a[N][N];
    M(int v = 0)
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
        REP(i, 0, N)  a[i][i] = v;
    }

    M operator *(const M& b) const
    {
        M ret;
        REP(i, 0, N)
            REP(j, 0, N)
            REP(k, 0, N)
        {
            ret.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j];
            ret.a[i][j] %= mod;
        }
        return ret;
    }

    M power(LL b) const
    {
        M ret = 1, a = *this;
        while (b)
        {
            if (b & 1) ret = ret*a;
            b >>= 1;
            a = a*a;
        }
        return ret;
    }
};

LL getf(LL n)
{
    if (n == 0)    return 0;
    M I;
    I.a[0][0] = I.a[0][1] = I.a[1][0] = 1;
    I.a[1][1] = 0;
    I = I.power(n - 1);
    return I.a[0][0] % mod;
}

int main()
{
    LL n, k;
    int t;
    scanf("%d", &t);
    LL ans;
    while (t--)
    {
        ans = 0;
        scanf("%lld%lld", &n, &k);
        if (k <= 2)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        LL d = n / k;
        LL r = n%k;
        if (r == k - 1) { d++; r = 0; }
        LL cntf = 0;
        if (k % 2)
        {
            cntf = ((d + 1) / 4%mod) * ((k - 1)%mod)%mod + (d / 2%mod) * ((k - 1) / 2%mod)%mod;
            if (d % 4 == 1 || d % 4 == 2)   ans += getf(k + 1) - 1;
            ans %= mod;
            if (d % 4 == 2 || d % 4 == 3)   ans += getf(k - 2) - 1;
            ans %= mod;
            if (r)
            {
                if (d % 2)
                {
                    LL tmp = getf(k - 2);
                    if (r % 2)  tmp = (tmp + getf(k - r - 2)) % mod;
                    else tmp = (tmp - getf(k - r - 2)) % mod;
                    if (((d - 1)/2) % 2)    ans -= tmp;
                    else ans += tmp;
                    ans %= mod;
                    cntf += (r >> 1);
                    if (r % 2 && d % 4 == 3)    cntf++;
                }
                else
                {
                    LL tmp = getf(r + 2) - 1;
                    if ((d / 2) % 2)    ans -= tmp;
                    else ans += tmp;
                    ans %= mod;
                    if (d % 4 == 2) cntf += r;
                }
            }
        }
        else
        {
            ans = ((d + 1) / 2) % mod*(getf(k + 1) - 1) % mod + (d / 2) % mod*(getf(k - 2) + 1);
            cntf += (d / 2) % mod*((k - 1) / 2 % mod);
            if (r)
            {
                if(d%2==0)
                    ans += getf(r + 2) - 1;
                else
                {
                    ans += getf(k - 2);
                    ans %= mod;
                    if (r % 2 == 0)
                        ans -= getf(k - r - 2);
                    else ans += getf(k - r - 2);
                    cntf += r / 2;
                }
            }
        }
        cntf %= mod;
        ans += (cntf*getf(k)) % mod;

        ans = (ans%mod + mod) % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
}