《统计学习方法》朴素贝叶斯法学习笔记和python源码

朴素贝叶斯法

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入/输出的联合概率分布；然后基于此模型，对给定的输入x，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y。

换句话说，在已知条件概率和先验概率的情况下（即，在事件Bi发生条件下发生事件A的概率，和发生事件Bi的概率），求后验概率（即，在事件A发生条件下事件Bi发生的概率）。

先验概率：根据以往经验和分析得到的概率。

后验概率：基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得更接近实际情况的概率估计。后验概率是条件概率，但并不是所有的条件概率都是后验概率。

条件概率：在发生A的条件下B发生的概率。

定理：

贝叶斯定理：

其中P=(Y=ck)是先验概率，根据数据集可以求得；P(Y=ck|X=x)是后验概率，也是条件概率，在已知输入的情况下求输出Y=ck的概率；P(X=x|Y=ck)是条件概率，即在Y=ck发生情况下，X=x的概率。

由于上式，分母项都相同，所以求分子项最大即可。

其中，X是特征向量，其有多个维度，即 X={x1,x2,x3...,xn}。假设各个特征取值是相互独立的，可得下式：

算法：

朴素贝叶斯算法

注意：

1.如果在计算条件概率时，一个概率值为0，那么最后的乘积也是0。这会影响后验概率的计算结果，使分类产生偏差。为了降低这种影响，可以采用贝叶斯估计。

具体的公式改动如下，

其思想就是，给每种情况初始值加1，使其概率不为0。

2.另外遇到一个问题就是下溢出，这是由于太多很小的数相乘造成的。

这种解决方法是对乘机取自然对数。在代数中，ln(a*b*c)=ln(a)+ln(b)+ln(c)。

所以，

附python源码

#coding: utf-8 or # -*- coding: utf-8 -*-
# author=altman
import numpy as np
import copy as cp
#获得特征向量可能值
def createWordList(data):
    wordSet = set([])
    for document in data:
        wordSet = wordSet | set(document)
    return list(wordSet)
#将多维数据转化为一维向量，方便计算
def word2Vec(wordList,inputWord):
    returnVec = [0]*len(wordList)
    for word in inputWord:
        if word in wordList:
            returnVec[wordList.index(word)] = 1
    return returnVec
#训练函数，根据给定数据和标签，计算概率
def train(trainMatrix,trainLabels):
    numTrainDocs = len(trainMatrix)
    numWords = len(trainMatrix[0])
    pAbusive = (sum(trainLabels)+1.0)/(float(numTrainDocs)+2.0*1.0)
    p0Num = np.ones(numWords)
    p1Num = np.ones(numWords)
    p0Denom = 3.0 + len(trainLabels)-sum(trainLabels)
    p1Denom = 3.0 + sum(trainLabels)
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainLabels[i] == 1:
            p1Num += trainMatrix[i]
        else:
            p0Num += trainMatrix[i]
    p0Vect = np.log(p0Num/p0Denom)
    p1Vect = np.log(p1Num/p1Denom)

    return p0Vect,p1Vect,pAbusive
#分类函数
def classify(vec2Clssify,p0Vect,p1Vect,pClass1):
    p1 = sum(vec2Clssify*p1Vect) + np.log(pClass1)
    p0 = sum(vec2Clssify*p0Vect) + np.log(1-pClass1)
    if p1>p0:
        return 1 
    else:
        return 0 

def main():
    data = [[1,'s'],[1,'m'],[1,'m'],[1,'s'],[1,'s'],[2,'s'],[2,'m'],[2,'m'],[2,'l'],[2,'l'],[3,'l'],[3,'m'],[3,'m'],[3,'l'],[3,'l']]
    labels = [0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0]
    wordList = createWordList(data)
    dataMatrix = []
    for item in data:
        dataMatrix.append(word2Vec(wordList,item))
    p0,p1,pAB = train(dataMatrix,labels)
    goal = [3,'l']
    wordVec = np.array(word2Vec(wordList,goal))
    print(classify(wordVec,p0,p1,pAB))

if __name__ == '__main__':
    main()