用动态规划解决（maximum sum subarray and maximum product subarray)

一些问题从整体上看貌似无从下手，从上到下考虑各种细节会越来越复杂。这时候就可以考虑用动态规划算法解决了，一个小的局部问题解决了后，在找到状态转移方程，通过状态转移方程解决掉所有局部问题，遍历完成后，全局问题就解决了。

关键是要找到状态转移方程。

下面先举一个例子：找到数组中sum(和）最大的子数组（maximum sum subarray)。这是个经典的问题，详细可以百度之。

用tmax表示当前局部求得的最大sum，为求得下一状态tmax值，需要tmax+A[i]和当前数组元素A[i]比较:，tmax=max(tmax+A[i],A[i])。这就是状态转移方程。所以可以写出下面程序：

// this is DPsolution
int maxSum(int A[],int n)
{
    assert(n>0);
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return A[0];
    int tmax= 0;
    int result=A[0];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        tmax=max(tmax+A[i],A[i]);
        result=max(tmax,result);
    }
    return result;
}

再举一例：找到数组中product（积）最大的子数组（maximum product subarray)。同上个问题类似，只不过是sum变作product。

同样用tmax表示当前局部求得的最大product。这是求状态转移方程稍微比上一例子复杂一点，考虑到数组中两个负数相乘会得到一个很大的正数。所以，还需要一个tmin来记录当前求得最小product。

下一状态的tmax值的更新，不仅需要比较tmax*A[i]和A[i]，还需要比较tmin*A[i]。即tmax=max(max(tmax*A[i],A[i]),tmin*A[i])。而tmin=min(min(tmax*A[i],A[i]),tmin*A[i])。

程序如下：

// this is DP solution!!!haha
int maxProduct(int A[],int n)
{
    assert(n>0);
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return A[0];
    int tmax=A[0];
    int tmin=A[0];
    int result=A[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int tmax_copy=tmax;
        tmax=max(max(tmax*A[i],A[i]),tmin*A[i]);
        tmin=min(min(tmax_copy*A[i],A[i]),tmin*A[i]);
        result=max(result,tmax);
    }
    return result;
}