uva 10312 - Expression Bracketing(Catalan+SuperCatalan)

题目链接：uva 10312 - Expression Bracketing

题目大意：给出一个序列，长度为n，表示有n个x(节点)，可以添加任意括号，问说形成的串为非二叉表达式的有多少个。

解题思路：直接求非二叉表达式是比较困难，所以换求总数减去二叉表达式的数量。二叉表达式的很容易发现是Catalan数，而总数时一种叫SuperCatalan数的一种序列，第一次接触。或者可以用dp做，i个节点，dp[i][0]表示该位置至少被差分成两个子树，dp[i][1]表示可以为1棵子树。

解法一：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 30;
typedef long long ll;

ll f[N], b[N];

void init () {
    int n = 26;
    b[1] = b[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        b[i] = b[i-1] * (4*i-6) / i;

    f[1] = f[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        f[i] = (3 * (2 * i - 3) * f[i-1] - (i - 3) * f[i-2])/i;
}

int main () {
    init();
    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1) {
        printf("%lld\n", f[n] - b[n]);
    }
    return 0;
}

解法二：

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;
const int N = 30;
ll f[N], dp[N][2];

ll solve (int n, int s) {

    ll& ans = dp[n][s];

    if (~ans)
        return ans;
    if (n <= 1)
        return ans = 1;

    ans = 0;

    for (int i = 1; i < n + s; i++)
        ans += solve(i, 1) * solve(n-i, 0);
    return ans;
}

int main () {
    f[1] = f[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= 26; i++)
        f[i] = f[i-1] * (4*i-6) / i;

    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1) {
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        printf("%lld\n", solve(n, 0) - f[n]);
    }
    return 0;
}