Fibonacci全面总结

参考资料https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#CITEREFBeckGeoghegan2010

在数学上，费波那契数列是以递归的方法来定义：

• F0=0
• F1=1
• Fn=Fn−1+Fn−2（n≧2）

用文字来说，就是费波那契数列由0和1开始，之后的费波那契系数就由之前的两数相加。首几个费波那契系数是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

特别指出：0不是第一项，而是第零项。

源起

根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。

• 第一个月初有一对刚诞生的兔子
• 第二个月之后（第三个月初）它们可以生育
• 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
• 兔子永不死去

假设在n月有兔子总共a对，n+1月总共有b对。在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候，前一月（n+1月）的b对兔子可以存留至第n+2月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于所有在n月就已存在的a对

表达式

为求得斐波那契数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。

初等代数解法

已知
- a1=1
- a2=1
- an=an−1+an−2

首先构建等比数列

设 an+αan−1=β(an−1+αan−2)
化简得
an=(β−α)an−1+αβan−2
比较系数可得：

{β−α=1αβ=1

不妨设 β>0,α>0
解得：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪α=5√−12β=5√+12

所以有 an+αan−1=β(an−1+αan−2) ， 即 {an+αan−1} 为等比数列。

**求出数列 an+αan−1

由以上可得：

an+1+αan=(a2+αa1)βn−1=(1+α)βn−1=βn

变形得： an+1βn+1+αβanβn=1β。令bn=anβn

**求数列 bn 进而得到 an

bn+1+αβbn=1β
设 bn+1+λ=−αβ(bn+λ) ，解得 λ=−1α+β 。
故数列 {bn+λ} 为等比数列
即 bn+λ=(−αβ)n−1(b1+λ) 。而 b1=a1β=1β，故有bn+λ=(−αβ)n−1(1β+λ)
又有

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪α=5√−12β=5√+12

和 bn=anβn
可得 an=5√5⋅[(1+5√2)n−(1−5√2)n]

得出 an 表达式

an=5√5⋅[(1+5√2)n−(1−5√2)n]

**线性代数解法

(Fn+2Fn+1)

(1110)

\cdot

(Fn+1Fn)

(Fn+2Fn+1Fn+1Fn)

(1110)

^{n + 1}

构建一个矩阵方程[编辑]
设Jn为第n个月有生育能力的兔子数量，An为这一月份的兔子数量。

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} =

(0111)

\cdot {J_n\choose A_{n}},
上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，An+1的表达式。

求矩阵的特征值： \lambda [编辑]
行列式：-\lambda(1-\lambda)-1\times1=\lambda^2-\lambda-1

当行列式的值为0，解得 \lambda_1 =\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})或 \lambda_2 =\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})

特征向量[编辑]
将两个特征值代入

(

(0111)

-\lambda \cdot E) \cdot\vec x = 0

求特征向量\vec x得

\vec x_1=

⎛⎝112(1+5√)⎞⎠

\vec x_2=

⎛⎝112(1−5√)⎞⎠

分解首向量[编辑]
第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

{J_{1}\choose A_{1}} =

(01)

将它分解为用特征向量表示。

(01)

=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot

⎛⎝112(1+5√)⎞⎠

-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot

⎛⎝112(1−5√)⎞⎠

（4）
用数学归纳法证明[编辑]
从

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} =

(0111)

\cdot {J_n\choose A_{n}}=\lambda \cdot {J_n\choose A_{n}}
可得到

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} =

(0111)

^n \cdot {J_{1}\choose A_{1}} =\lambda^n \cdot {J_{1}\choose A_{1}} （5）
化简矩阵方程[编辑]
将（4） 代入 （5）

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \lambda^n \cdot \left[\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot

⎛⎝112(1+5√)⎞⎠

-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot

⎛⎝112(1−5√)⎞⎠

\right]
根据3

{J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_1^n \cdot

⎛⎝112(1+5√)⎞⎠

- \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_2^n\cdot

⎛⎝112(1−5√)⎞⎠

求A的表达式[编辑]
现在在6的基础上，可以很快求出An+1的表达式，将两个特征值代入6中

A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_1^{n+1} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_2^{n+1}
A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\lambda_1^{n+1} - \lambda_2^{n+1})
A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left[\frac{1}{2} \left(1 + \sqrt{5}\right)\right]^{n+1} - \left[\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\right]^{n+1}（7）
（7）即为An+1的表达式

组合数解法[编辑]
F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}[1]

F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}
近似值[编辑]
F_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}} a^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left[ \frac{1}{2} \left(1 + \sqrt{5}\right) \right]^n \approx 0.4472135955 \cdot 1.618033988745^n
用计算机求解[编辑]
可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。

可通过递归递推的算法解决此两个问题。 事实上当n相当巨大的时候，O（n）的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵快速幂这一技巧，可以使递归加速到O(logn)