【Codechef】B-Tree

题目描述

给出一棵 n 个点的树，边权都为 1 ，以及 m 个询问，每一个询问形式如下：

给出 k 个点的集合 S={a1,a2,⋯,ak} ，以及每一个点的控制范围 rai 。
一个点 p 称为被控制的，当且仅当 ∃x∈S,dis(x,p)≤rx
问有多少个点被控制。

n,Q≤5×104,∑k≤5×105

分析

part 1 简化的问题

不妨先看当 k=1 时，问题变成怎么样的了。

给出一棵树，每次询问距离点 x 的距离小于 r 的点的个数。

考虑点剖，每一个重心上存点剖子树中所有点，按照离重心距离为关键字建桶。
那么只需要在点剖树上，从 x 往上跳，沿路统计答案就可以了。
但是注意可能会有重复计算。但是考虑点剖树上某个点只有 logn 个祖先，将它们记录下来，逐个减去重复计算的就可以了。
时间复杂度 O(log2n)
但是假如我们加入无用白点，那么这里可以 O(1) 地解决重复问题（只考虑另外两个儿子就可以了）
时间复杂度 O(logn)

边剖也是类似的，不过相对来说更加好写一点。

part 2 原问题的分解

扩展到多点 虚树

当 k>1 时，我们可以引入虚树和控制范围的概念，从而将原问题转化。

虚树的构建可以利用欧拉序，首先先将每两个相邻的关键点之间最近公共祖先都加入进去。然后维护一个栈，每加入一个点，就不断退栈，直到栈顶是它的某个祖先，然后将栈顶与这个点连边，最后将这个新点压入栈。

首先先构建出这 k 个点的虚树，那么虚树中的每个点 x ，它的控制范围 lx=max0≤y<nly−disx,y ，每个点的归属 belongx 自然就是任意一个取得最大 lx 的 y 。
为了统一，假如某个点不被控制，不妨将 lx 赋为 0 ， belongx 赋为 n 。
用spfa可以快速地计算出每个点的控制范围。

然后问题的答案就等于虚树上的每条边的答案之和。

单条边的处理方式

一条边的答案正着算似乎不好处理，用所有的虚树上点的控制范围点数和，减去重复的部分，也可以得到原来的答案。

• 性质一：设 (x,y) 是虚树上的一条边，那么当且仅当 belongx≠belongy 时，才会在这条边上出现重复。
  证明：显然。
• 性质二：对于满足性质一的边，存在唯一的 z∈path[x,y] ，使得 path[x,z] 上的点都属 x 管劾， path(z,y] 上的点都属 y 管劾。
  证明：
  不妨令 depx<depy ，那么
  lx−dis(x,z)≤ly−dis(z,y)
  lx−(depz−depx)≤ly−(depy−depz)
  depx+depy+lx−ly≤2depz
  ⌈depx+depy+lx−ly2⌉≤depz
  由上面这条式子，就可以知道 z 唯一确定了一条边之间两个点的管劾范围。

part 3 更深入的分析

通过这样的划分以后，我们计算答案的思路就变成下面两步

• 假如某个点在新图中存在势力范围，那么统计它势力范围内的点数，将其求和。

• 对于每条两个端点的统治势力不同的点，计算它们重叠部分并减去之。

对于第一个问题，套用“简化的问题”的思路，就可以简单地解决了。
对于第二个问题，实际上就是要统计距离不在点 z 子树内，离 z 距离小于等于 lz 的点数，以及在 z 的子树中，离点 z 的距离小于等于 lu−dis(z,u) 的点数。

那么对于第二个问题比较好的解决思路就是dfs序，因为子树都是dfs序中连续的一段，而不在子树中必定是全段挖去中间的一小段。那么我们只需要按dfs序构建主席树，那么就可以快速进行统计了。

那么单次询问的时间复杂度就是的时间复杂度 O(klogn)

于是最终总的时间复杂度是 O(nlogn+Qklogn)