傅里叶变换的本质的一点认识

1，CSDN的博客中，有一篇博文《傅里叶变换的实质--正交之美》，中对傅里叶变换的实质做了精辟的解答，当然，如下图所示，我们也可以看到其实所谓时域和频域，只是我们对信号观察的角度的不同而已。当我们的采样频率高过其中的频率最高的那个谐波分量的时候，我们知道，即便取的时间很短暂，我们都可以通过FFT得到原始信号的频谱，当然，点数的多寡决定了你的频谱的分辨率。

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2，我们很容易理解，在连续傅里叶变换时，模拟角频率在公式中的物理意义。但是，当数字角频率w这个变量出现时，并且其还堂而皇之地进入离散傅里叶的公式中，就让我很费解了。其实，这种不理解是很正常的，因为你想啊，根据定义：w=大欧米伽*T（T就是采样周期），，说白了，这个w其实计算的是一个相位啊，就这样代进离散傅里叶变换的公式中，合理吗？（傅里叶变换公式：X(w)=求和（x(n)*e^(-jwn)））。

后来，我终于想通了，这离散傅里叶变换必须由连续傅里叶变换推过来的嘛，他们之间一定有不可告人的秘密，现在需要把这个联系找出来就可以了。其实很容易找，我们直接把w的计算公式代进去，发现，-jwn=-j(大欧米伽)*T*n,发现没有，这个n*T就是时间t嘛，这样，而x(n)其实，就是x(n*T)嘛，全部代进去就发现，当采样点n无限多的时候，原来这个东西就变成连续傅里叶变换啦！！！其实，就是为了方便，用w替换了原来的T*大欧米伽。  在某一个系统中，采样频率一旦确定，那么采样周期T也就确定了，那么w和原来的大欧米伽的关系也就确定了，这也就是为什么，我们可以用w来分析原始信号的频谱了。当然，这是一种映射关系。那么这个w又有什么特别的性质呢？

简单代换，我们可以得到 ： w=2*pi*f / fs.    根据fs ≤ fmax可以得出，w ≤ pi 的。不过，大家都知道的，傅里叶变换会有负频率存在的。另外，由于H（w）计算公式，本身以2*pi为周期的，所以，出现计算出的H（w）是以2*pi为周期的延拓的。当然，我们只需要关心0到pi内的频谱就可以了。

其实，上面所谓“离散傅里叶变换”并不准确，真正的离散傅里叶变换，是其频谱也需要离散的，这个时候，其实，就是对做出来的连续谱进行抽样了。这里，w的范围为-pi到pi，所以，根据所做DFT的点数，把2p平均分为N个点，然后，就没有然后了。。。。。。

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