RMQ 之 ST算法的使用 【总结】 【附带求固定区间长度的一维技巧】

RMQ问题：区间最小值问题（也可以解决区间最大值问题）

解决算法：ST （Sparse - Table算法，基于动态规划求区间最值的算法） 

ST算法分为预处理和查询两部分 

首先定义数组：我们用定义 Amax[i][j] 为从 i开始的，长度为2^j的区间里面的最大值, Amin[i][j]为从i开始，长度为2^j的区间里面的最小值 

一：预处理如下


我们可以将一段长度为2^j的区间分成两段长度都为2^(j-1)的相同区间 
 
区间1 为  i.....i+2^(j-1)-1   区间2为  i+2^(j-1).....i+2^j-1 
 
得到状态转移方程（由长度递增推出）


Amax[i][j] = max(Amax[i][j-1], Amax[i+2^(j-1)][j-1])
Amin[i][j] = max(Amin[i][j-1], Amin[i+2^(j-1)][j-1])边界条件为F[i][0]=A[i]. 
  
二：查询如下


MAX L R 表示要查询[L, R]区间的最大值
MIN L R 表示要查询[L, R]区间的最小值


我们需要找到这样一个k值，使得从L开头的一个长度为2^k的区间 和 以R结尾的长度为2^k的区间 包括了整个[L, R]


k值计算有两种方案  1，k =(int) log2( R-L+1)  2，k值从0开始递增 直到2^k大于 R-L+1 为止。
 
找到k后，查询操作有


return max(Amax[L][k], Amax[R-(1<<k)+1][k]);//返回区间最大值


return min(Amin[L][k], Amin[R-(1<<k)+1][k]);//返回区间最小值

实际问题

给出一个N个数的序列A[] 和M次查询，查询如下：MAX x y 求区间[x, y]的最大值，MIN x y 求区间[x, y]的最小值。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 10010
#define INF 1000000000
using namespace std;
int A[MAXN];
int N, M;
int Amax[MAXN][50];//Amax[i][j]表示从i开始的，长度为2的j次方的区间里面的最大值
int Amin[MAXN][50];//Amin[i][j]表示从i开始的，长度为2的j次方的区间里面的最小值
void RMQ_init()
{
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        Amax[i][0] = Amin[i][0] = A[i];
    for(int j = 1; (1<<j) <= N; j++)
    {
        for(int i = 1; i + (1<<j)-1 <= N; i++)
        {
            Amax[i][j] = max(Amax[i][j-1], Amax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            Amin[i][j] = min(Amin[i][j-1], Amin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int query(char *op, int L, int R)
{
    //k值求法有两种
    int k = 0;
    while((1<<(k+1)) <= R-L+1) k++;
    //int k = (int)(log(double(R - L + 1))/log((double)2));
    if(strcmp(op, "MAX") == 0)
        return max(Amax[L][k], Amax[R-(1<<k)+1][k]);
    else
        return min(Amin[L][k], Amin[R-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &N, &M), N||M)
    {
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            scanf("%d", &A[i]);
        RMQ_init();
        char op[10];
        int x, y;
        while(M--)
        {
            scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
            printf("%d\n", query(op, x, y));
        }
    }
    return 0;
}

上面说过了RMQ的使用——求序列任意区间长度的最大值以及最小值。

延伸：给出一个N个数的序列，并固定区间长度为k。M次查询 MAX x (MIN x) ——查询[x，x+k-1]的最大值(最小值)。

这时我们同样可以用上面的方法做。但这样会浪费很大的内存，因为对于这道题，我们只需要使用当区间长度为k时的信息（区间长度不为k的信息我们都用不到）。

思考一下？怎么优化？只需要使用当区间长度为k时的信息！

也就是说我们没有必要用二维数组来存储所有区间长度的可能取值。

我们只需要这样定义：Amax[ i ] 存储的是以序列A[ i ]开始的，长度为k的区间里面的最大值。Amin[ i ]同样如此。

这样的话，我们只需要按长度递增来推出区间长度为k时的情况 就ok了。

关于查询，也没什么变动，设置一个变量len。找到合适的len —— 使得以L开始的和以R结尾的两个长度为2^len的区间覆盖查询区间即可。

详看代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 1000000+10
using namespace std;
int N, M, k;
int A[MAXN];
int Amax[MAXN];
int Amin[MAXN];
void RMQ_init()
{
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        Amax[i] = Amin[i] = A[i];
    for(int j = 1; (1<<j) <= k; j++)
    {
        for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= N; i++)
        {
            Amax[i] = max(Amax[i], Amax[i + (1<<(j-1))]);//压缩
            Amin[i] = min(Amin[i], Amin[i + (1<<(j-1))]);
        }
    }
}
int query(char *op, int L, int R)
{
    int len = 0;
    while(1<<(len+1) <= R-L+1) len++;//求len值
    if(strcmp(op, "MAX") == 0)
        return max(Amax[L], Amax[R-(1<<len)+1]);
    else
        return min(Amin[L], Amin[R-(1<<len)+1]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d%d", &N, &M, &k) != EOF)
    {
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            scanf("%d", &A[i]);
        RMQ_init();
        char op[10];
        int x;
        while(M--)
        {
            scanf("%s%d", op, &x);
            printf("%d\n", query(op, x, x+k-1));
        }
    }
    return 0;
}