[置顶] NYIST OJ 1000 又见Fibonacci数列

题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=1000

描述

斐波那契数列大家应该很熟悉了吧。下面给大家引入一种新的斐波那契数列：M斐波那契数列。 M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，聪明的你能求出F[n]的值吗？

输入

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

输出

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

样例输入

0 1 0 
6 10 2

样例输出

0 
60

        

        计算发现F(2)= a * b，F(3)= a * (b^2)，F(4)= (a^2)  * (b^3)，F(5)= (a^3) * (b^5)...

显然F(n)中a的次数是真正fibonacci中第i-1项，b的次数是真正fibonacci中第i项。所以，先求出fibonacci中第n-1项和第n项，设为x，y，则F(n)= (a^x) * (b ^y)。在求值的时候要注意使用Fermat小定理，避免x、y溢出。

代码如下所示：

<span style="font-size:14px;">#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#ifdef _MSC_VER
    typedef __int64 lld;
#else
    typedef long long lld;
#endif

const lld MOD = 1000000007;
const lld PMOD = 1000000006;//phi(MOD)

lld a, b, n;
lld fa, fb;



struct Matrix{
	union{
		struct{
			lld _00, _01;
			lld _10, _11;
		};
		lld ele[4];
	};
};

Matrix Identity;

bool Handle();

int main(){
	Identity._00 = 0, Identity._01 = 1, Identity._10 = 1, Identity._11 = 1;
	while (Handle()){
		//empty while
	}
}



Matrix GetFibonacci(int k);//return kth fibonacci

Matrix operator * (const Matrix& lhs, const Matrix& rhs);

lld QuickPow(lld base, lld exp, lld mod);


bool Handle(){
	if (!(cin >> a >> b >> n)){
		return false;
	}

	if (n == 1){
		cout<<b % MOD<<endl;
		return true;
	} else if (n == 0){
		cout<<a% MOD<<endl;
		return true;
	} else if (!a || !b){
		cout<<0<<endl;
		return true;
	}
	//we must caculate it
	const Matrix& mat = GetFibonacci(n-1);

	lld x = QuickPow(a, mat._01, MOD), y = QuickPow(b, mat._11, MOD);
	cout<< (x* y ) % MOD<<endl;

	return true;
}

Matrix operator * (const Matrix& lhs, const Matrix& rhs){
	Matrix result;
	result._00 = lhs._00 * rhs._00 + lhs._01 * rhs._10;
	result._01 = lhs._00 * rhs._01 + lhs._01 * rhs._11;
	result._10 = lhs._10 * rhs._00 + lhs._11 * rhs._10;
	result._11 = lhs._10 * rhs._01 + lhs._11 * rhs._11;
	return result;
}

Matrix GetFibonacci(int k){//return kth fibonacci
	Matrix mat;
	if (k == 1){
		return Identity;
	} else{
		mat = GetFibonacci(k>>1);
		mat  = mat * mat;
		for (int i = 0; i < 4; ++i){
			mat.ele[i] %= PMOD;
		}
		if (k & 1){
			mat = mat * Identity;
			for (int i = 0; i < 4; ++i){
				mat.ele[i] %= PMOD;
			}
		}
		return mat;
	}
}

lld QuickPow(lld base, lld exp, lld mod){//(base^exp) % mod
	if (exp == 1){
		return base  % mod;
	} else if (exp == 0){
		return 1;
	}
	lld x = QuickPow(base, exp>>1, mod);
	x *= x;
	x %= mod;
	if (exp & 1){
		x *= base;
		x %= mod;
	}
	return x;
}</span>