不要被阶乘吓到（beauty of programe）

http://blog.csdn.net/xuelovexiao/article/details/9336047

问题一：给定一个整数N，求该整数的阶乘中末尾含有多少个0？例如：N=10；N!=3628800,N!的末尾含有两个0.

问题二：求N！的二进制表示中最低位1的位置

阶乘：是所有小于和等于该数的正整数的乘积，自然数N的阶乘是N！，这一表示法是基斯顿 卡曼引入的。阶乘定义为：一种数学计算方式。用比给定数值（必定大于等于零）小的自然数依次相乘直到最终因数为给定数值为止。记作“N!”。例如 5 的阶乘记作 5!，即 1×2×3×4×5＝120。

实现一递归：

int fun1(int num)
{
    if (num<0)
    {
        cout<<"error\n";
    }
    else
    {
        if (num==0||num==1)
        {
            return 1;
        }
        else
        {
            return num*fun1(num-1);
        }
    }
}

int fun1(int num)
{
	if (num<0)
	{
		cout<<"error\n";
	}
	else
	{
		if (num==0||num==1)
		{
			return 1;
		}
		else
		{
			return num*fun1(num-1);
		}
	}
}

实现二非递归：

int fun2(int num)
{
    if (num<0)
    {
        cout<<"error\n";
    }
    else
    {
        if (num==0||num==1)
        {
            return 1;
        }
        else
        {
           int sum=1;
           for (int i=1;i<=num;i++)
           {
               sum*=i;
           }
           return sum;
        }
    }
}

int fun2(int num)
{
	if (num<0)
	{
		cout<<"error\n";
	}
	else
	{
		if (num==0||num==1)
		{
			return 1;
		}
		else
		{
		   int sum=1;
		   for (int i=1;i<=num;i++)
		   {
			   sum*=i;
		   }
		   return sum;
		}
	}
}

 

问题一解法：

如果N！= K×10M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。

方法1：计算Z，就是计算结果里面含有5的指数，即求1到N中每个数含有的5的指数，最后求和。

<span style="font-size: 18px;">ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
    j = i;
    while(j % 5 ==0)
    {
        ret++;
        j /= 5;
    }
}</span>

ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
    j = i;
    while(j % 5 ==0)
    {
        ret++;
        j /= 5;
    }
}

 

方法2：z = [N/5] + [N/(5*5)] + [N/(5*5*5)].... */ 

/* [N/5]为N中5的个数,[N/(5*5)]为[N/5]中5的个数 */ 

/* Z为N！中含有质数5的个数 */ 

公式中，【N/5】表示不大于N的整数中5的倍数贡献一个5，[N/(5*5)] 表示不大于n的整数中25的数贡献一个5，最后求和。

<span style="font-size: 18px;">ret = 0;
while(N)
{
    ret += N / 5;
    N /= 5;
}</span>

ret = 0;
while(N)
{
    ret += N / 5;
    N /= 5;
}

 

问题二解法：

将一个数除以2，若为零说明尾部为0，右移一位；反之若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除。所以问题二实际上等同于求N！中含有质因数2的个数，即结果右移多少位之后不能再被2整数。

int ret = 0;
    while (n)
    {
        n >>= 1;
        ret += n;
    }

    return ret + 1;