[Project Euler] 来做欧拉项目练习题吧: 题目012

                                   [Project Euler] 来做欧拉项目练习题吧: 题目012

                                                       周银辉 

 

 

问题描述： 

The sequence of triangle numbers is generated by adding the natural numbers. So the 7^thtriangle number would be 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. The first ten terms would be:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Let us list the factors of the first seven triangle numbers:

 1 : 1
 3 : 1,3
 6 : 1,2,3,6
10 : 1,2,5,10
15 : 1,3,5,15
21 : 1,3,7,21
28 : 1,2,4,7,14,28

We can see that 28 is the first triangle number to have over five divisors.

What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors?

 

 

问题分析：

 

题目要求找出第一个拥有超过500个约数的三角数。

 

首先，求第i个三角数很容易，其是1～i之和

long get_trangle_number(int i)

{

return ((long)(1+i)*i)/2;

}

难在如何求一个数n的约数，观察 28: 1,2,4,7,14,28 除了1和28(n本身)外，其它约数中，关键约数是2和7，剩下的则是关键约数的倍数

所以，先求出关键的这些约数，然后再求约数的倍数，而关键的约数也就是质因数(prime factor),求一个数的质因数参考003题。

get_divisors_count这个函数是上述算法的粗糙版本，

int get_divisors_count(int number)

{

if(number<1)

{

return 1;

}

int count     = 0;

int factor    = 2;

int n         = number;

int buffer_sz = number+1;

int i;

int array[buffer_sz];

for(i=0; i<buffer_sz; i++)

{

array[i]=0;

}

array[1]      = 1;

array[number] = 1;

while(n>1)

{

if(n%factor==0)

{

//printf("prime factor found: %d\n", factor);

array[factor]=1;

i=2;

while(number%(i*factor)==0)

{

array[i*factor]=1;

i++;

}

while(n%factor==0)

{

n/=factor;

}

}

factor++;

}

        //printf("divisors of %d: ", number);

for(i=0; i<buffer_sz; i++)

{

if(array[i]==1)

{

//printf("%d ", i);

count++;

}

}

return count;

} 

其中有个问题是如何记录已经找到的约数,由于有可能存在重复查找(比如14是2的倍数也是7的倍数，所以重复查找了)则不能简单地累计，

要记录这些数，最简单的方法是用hashtable之类的，但标准C里面没有内置，所以我用了一个数组，数组下标表示约数，值为1则表示找到了。

数组对于比较小的数没问题，但数太大的话，一是遍历是效率低下，二是如果在栈上分配的容易导致内存错误。 

 

 

上述方法是可以改进的，然后得到了get_divisors_count2这个函数，理论基础来自于这里：http://mathforum.org/library/drmath/view/55843.html 

于是我们得到更高效的函数：

int get_divisors_count2(long number)

{

if(number<1)

{

return 1;

}

int count     = 1;

int factor    = 2;

long n        = number;

int i, t;

while(n>1)

{

if(n%factor==0)

{

//printf("prime factor found: %d\n", factor);

t = 1;

while(n%factor==0)

{

t++;

n/=factor;

}

count *= t;

}

factor++;

}

return count;

}

 

 

注：当完成题目后，对于某些题，官方网站会给出参考答案，在我的博客里不会将官方答案贴出来，仅仅会写下我自己当时的思路，除非两者不谋而合。另外，如果你有更好的思路，请留言告诉我，我非常乐意参与到讨论中来。